Costruzione campo di spezzamento

[francicko]

Come costruire un campo di spezzamento di un polinomio generico , che abbia come dimensione $n!$?
Sia $ p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ irriducibile in $Q$ insieme dei razionali, e siano ${x_1,x_2,...x_n}$ l'insieme delle radici, essendo il polinomio $p^n(x)$ irriducibile, quozientando avremo il campo $Q[x]$ $/$ $p^n(x)~~Q[x_i]$ con $x_i$ una qualsiasi radice del polinomio, $p^n(x)$, poniamo ora il campo ottenuto $Q(x_i)=K$ e supponiamo che $P^(n-1)(x)=P^(n)(x)|(x-x_i)$ sia irriducibile su $K$, sarà allora $K(x)$ $/$ $P^(n-1)(x)~~K[x_j]$ con $x_j$ radice qualsiasi però diversa da $x_i$, otterrò così in definitiva $Q(x_i,x_j)$ estensioni , tutte isomorfe, con $x_j$ sempre diversa da $x_i$ , in numero di $n×(n-1)$, continuando ad ottenere dei polinomi irriducibili ed potendo iterare il procedimento, sino alla riduzione del grado del polinomio ad $n=1$, avrò infine dei campi di spezzamento isomorfi del polinomio $P^n(x)$ in numero di $n!$, mi sbaglio?

[francicko]

C'è qualcosa di sbagliato in questo ragionamento?

[Martino]

È scritto male e molto faticoso da leggere, ma l'idea ha senso, stai però assumendo in modo arbitrario che tutti i polinomi ottenuti in questo processo siano irriducibili, cosa che in generale è falsa. In concreto quindi non hai costruito nessun campo di spezzamento di dimensione $n!$. Stai invece andando nella direzione di mostrare (ma ci vuole dell'altro lavoro usando l'induzione) che il grado del campo di spezzamento di un polinomio di grado $n$ è minore o uguale di $n!$.