Rette passanti per l'origine sottospazio di R^2

[riooo]

Salve, ho difficoltà a capire il seguente concetto:
Non riesco a capire come rappresentare il sottospazio vettoriale di $R^2 $formato dalle rette passanti per l'origine, e quale è una possibile base. Ora, $R^2 = {(x,y) : x, y in R}$.
Una base è (0,1),(1,0). Combinando gli elementi della base è possibile ottenere un qualunque elemento di R^2.
La rappresentazione canonica di una retta è per l'origine è y = mx, dunque sia S il sottospazio formato da tali rette, allora sarebbe $S = {y=mx : x \in R}$. Essendo tale sottospazio di dimensione 1, la base dovrà consistere di un solo vettore, ad esempio $(1,1)$. Ma cosa sto rappresentando con questo $(1,1)$? La retta passante per l'origine ed $(1,1)$? non capisco. Ammettendo che $(1,1)$ sia una base, come faccio a rappresentare tutte le rette passanti per l'origine a partire da questo unico vettore? Come si rappresenta la retta passante per l'origine e $(3,4)$? C'è qualcosa che mi sto perdendo.
Oppure si intende forse che ogni retta per l'origine forma un sottospazio di $R^2$, e che ci sono tanti sottospazi di dimensione 1 di $R^2$ quante rette per l'origine(e dunque infiniti)? È allora forse così? Il libro che sto leggendo dice: "dimostra che i sottospazi di R^2 sono {0}, R^2, tutte le rette passanti per l'origine", ma dunque un sottospazio per ciascuna retta, oppure uno che le comprende tutte? Ho un problema simile con il sottospazio di R^3 rappresentato dai piani passanti per l'origine.
Grazie

[ProPatria]

Salve, ho difficoltà a capire il seguente concetto:
Non riesco a capire come rappresentare il sottospazio vettoriale di $R^2 $formato dalle rette passanti per l'origine, e quale è una possibile base. Ora, $R^2 = {(x,y) : x, y in R}$.
Una base è (0,1),(1,0). Combinando gli elementi della base è possibile ottenere un qualunque elemento di R^2.
La rappresentazione canonica di una retta è per l'origine è y = mx, dunque sia S il sottospazio formato da tali rette, allora sarebbe $S = {y=mx : x \in R}$. Essendo tale sottospazio di dimensione 1, la base dovrà consistere di un solo vettore, ad esempio $(1,1)$. Ma cosa sto rappresentando con questo $(1,1)$? La retta passante per l'origine ed $(1,1)$? non capisco. Ammettendo che $(1,1)$ sia una base, come faccio a rappresentare tutte le rette passanti per l'origine a partire da questo unico vettore? Come si rappresenta la retta passante per l'origine e $(3,4)$? C'è qualcosa che mi sto perdendo.
Oppure si intende forse che ogni retta per l'origine forma un sottospazio di $R^2$, e che ci sono tanti sottospazi di dimensione 1 di $R^2$ quante rette per l'origine(e dunque infiniti)? È allora forse così? Il libro che sto leggendo dice: "dimostra che i sottospazi di R^2 sono {0}, R^2, tutte le rette passanti per l'origine", ma dunque un sottospazio per ciascuna retta, oppure uno che le comprende tutte? Ho un problema simile con il sottospazio di R^3 rappresentato dai piani passanti per l'origine.
Grazie

Considera che uno spazio vettoriale ha come "requisito" che sia definita una metrica tra i vettori.
se consideri lo spazio $RR^2$ la metrica puoi prenderla semplicemente come distanza euclidea tra i due punti che sono gli estremi dei vettori.
Quando però consideri il sottospazio delle rette ti accorgi che questo non ha più senso, perchè come puoi trovare la distanza euclidea tra due rette?
A questo punto ti serve una metrica che sia in grado di definire la distanza tra due rette passanti per l'origine, e l'esempio più facile è considerare l'angolo compreso tra le rette.
Se consideri ad esempio la retta $y=x$ e quella $x=0$, avremo una distanza tra le due di $pi/4$.

Se chiedi come si rappresenta, questa che hai scritto tu:
$ S = {y=mx : x \in R} $
non è altro che la retta passante per l'origine di coefficiente m.

Quello che deve variare non è x, bensì m. è m la "variabile" dello spazio vettoriale che vuoi considerare, che ha dimensione 1 proprio perchè questa m (coefficiente angolare, tangente dell'angolo, ...) varia in $RR$.

EDIT IMPORTANTE: a rileggere quello che dice il libro, e ti chiedo scusa per la risposta frettolosa di prima, non si riferisce assolutamente al sottospazio contenente tutte le rette passanti per l'origine, bensì al fatto che ogni retta passante per l'origine è un sottospazio di $RR^2$.

In particolare ogni retta ha dimensione 1 ed è un sottospazio di $RR^2$, ad esempio quello che hai scritto tu:
$ S = {y=mx : x \in R} $
è il sottospazio che, in un piano, puoi rappresentare come la retta di coefficiente m.
Puoi vedere semplicemente che ogni vettore che ha direzione uguale alla retta crea una base del sottospazio.
In generale,
$S=span(1,m)$
ma $(1,m)$ è un vettore preso a caso tra tutti quelli appartenenti alla retta $y=mx$, infatti andrebbe bene anche
$span(2,2m)$, eccetera.

Questo puoi osservarlo perchè ogni vettore appartenente a $y=mx$ si può scrivere come
$lambda*(1,m)$
$lambda*(2,2m)$
(...)
per qualche adeguato $lambda$;

cioè come uno scalare (adeguato) per qualsiasi vettore tu scelga appartenente a $y=mx$.

[ViciousGoblin]

@ProPatria
Non è vero che gli spazi vettoriali sono necessariamente dotati di una metrica. Ho visto che poi hai corretto la risposta ma questa affermazioe che fai all'inizio non è giusta.

Riguardo la domanda non mi pare che l'insieme delle rette che passano per l'origine formi uno spazio vettoriale (dovrebbe essere invece la retta proiettiva che topologicamente è una circonferenza). Se $r_1$ e $r_2$ sono due rette per l'origine chi è $r_1+r_2$ ?
L'affermazione del libro è diversa....

[ProPatria]

@ProPatria
Non è vero che gli spazi vettoriali sono necessariamente dotati di una metrica. Ho visto che poi hai corretto la risposta ma questa affermazioe che fai all'inizio non è giusta.

Hai ragione... chiedo scusa

@ProPatria
Riguardo la domanda non mi pare che l'insieme delle rette che passano per l'origine formi uno spazio vettoriale (dovrebbe essere invece la retta proiettiva che topologicamente è una circonferenza). Se $r_1$ e $r_2$ sono due rette per l'origine chi è $r_1+r_2$ ?
L'affermazione del libro è diversa....

Il libro dice semplicemente di dimostrare che una retta qualsiasi forma un sottospazio vettoriale di $RR^2$

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

ma l'insieme delle rette forma uno spazio vettoriale?
sembra interessante come problema, ma bisogna trovare un modo intelligente per definire la somma

[ViciousGoblin]

Il libro dice semplicemente di dimostrare che una retta qualsiasi forma un sottospazio vettoriale di $RR^2$

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ma l'insieme delle rette forma uno spazio vettoriale?
sembra interessante come problema, ma bisogna trovare un modo intelligente per definire la somma

Il libro chiede anche di dimostrare che, se $X$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ avente dimensione uno allora $X$ è una retta (come già aveva ipotizzato rioo -anch'io non avevo letto bene il messaggio originale...).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Riguardo alla possibilità di mettere una struttura di spazio vettoriale sulle rette direi che ci sono poche possibilità se vuoi conservare qualcosa di sensato.
In effetti lo spazio delle rette nel piano è una cosa ben nota ed è la retta proiettiva che non è uno spazio vettoriale, ma è topologicamente una circonferenza. Questo non è un discorso puramente algebrico e non posso escludere che si riesca a definire una struttura strana di spazio vettoriale sull'insieme delle rette - non puoi però far andare d'accordo questa struttura con la topologia nelle rette (che è quella che hai correttamente individuato tu).