Un monoide con la moltiplicazione invertibile

[megas_archon]

Sia \(M\) un monoide con la seguente proprietà: la mappa di moltiplicazione \(m : M\times M\to M\) è un isomorfismo.

In \(\sf Set\), questo implica che \(M\) è il monoide banale, e in effetti è sufficiente che $m$ sia iniettiva: se \[xy=x'y'\quad\Rightarrow\quad (x,y)=(x',y')\] allora dato che \(x\cdot 1=x=1\cdot x\) per ogni $x\in M$, si ha che \(x=1\) per ogni \(x\in M\).

Lo stesso argomento mostra che \(M\) è isomorfo all'oggetto terminale in ogni \((\mathcal C,\times)\) cartesiana (ad es., gli spazi topologici, gli spazi di misura, i fasci di insiemi su uno spazio topologico, la categoria di categorie e funtori...): basta osservare che, se \(M\in\mathcal C\) è un monoide in \(\mathcal C\), \(\hom_{\mathcal C}(-,M)\) è un monoide in \([\mathcal C^\text{op},{\sf Set}]\), cioè ogni insieme \(\hom_{\mathcal C}(A,M)\) è un monoide in \(\sf Set\), e la funtorialità trasporta l'isomorfismo \(M\times M\cong M\) in un isomorfismo \(\hom_{\mathcal C}(A,M)\times \hom_{\mathcal C}(A,M)\cong \hom_{\mathcal C}(A,M)\). Ma allora, dall'argomento precedente, per ogni \(A\) si ha \(\hom_{\mathcal C}(A,M)\cong \{*\}\), di modo che deve essere \(M\cong 1\), per Yoneda.

Negli spazi vettoriali di dimensione finita, il fatto che \(m : V\otimes V\to V\) sia un isomorfismo implica che \[\hom(V,V^\lor)\cong\hom(V\otimes V,K)\cong \hom(V,K)\cong V^\lor\] di modo che la dimensione dello spazio a sinistra \(n^2\) debba essere uguale a quella dello spazio a destra \(n\): qui ci sono due soluzioni, lo spazio nullo, e $K$ stesso, quindi ci va ancora bene.

Nella categoria degli endofuntori di \(\mathcal A\), però, un monoide \(T\circ T\Rightarrow T\) è una monade idempotente. E ci sono molte monadi idempotenti che non sono l'identità.

Allo stesso modo, sospetto che se $R$ è un anello abbastanza bastardo, ci siano delle $R$-algebre (=degli $R$-moduli con una operazione di monoide bilineare) con la proprietà che \(A\otimes A\cong A\) senza che $A=R$.

Quindi, quali sono le ipotesi minime che implicano che un semigruppo/monoide $M$ con la proprietà che \(m : M\otimes M\to M\) sia un isomorfismo, $M$ è banale (cioè tale che anche l'unità \(I\to M\) sia un isomorfismo)?