Esercizio sistemi di congruenze

[complesso]

Ciao a tutti, sono bloccato alla fine del seguente esercizio:
"Al variare di \(\displaystyle a \in \mathbb{Z} \), determinare i valori interi di \(\displaystyle x \) per cui \(\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\frac{8}{21}ax^2+\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}a \) è un numero intero."

Sono arrivato al seguente sistema
\begin{cases} x^3 + ax^2 \equiv 0{\pmod{3}}\\
-ax^2+2x+3a \equiv 0{\pmod{7}}\end{cases}
Per la prima equazione si trova \(\displaystyle x \equiv 0{\pmod{3}} \lor x \equiv -a{\pmod{3}} \)
Dopodiché, non trovando modo migliore per la seconda equazione, ho provato tutti i casi. Sinceramente, però, l'idea di mettere a sistema tutte le possibili soluzioni non mi sembra un granché e tra l'altro le soluzioni vedo che sono più compatte. Ad esempio, tra le soluzioni dice che per \(\displaystyle a \equiv 1, -1, 3{\pmod{7}} \), ci sono le soluzioni \(\displaystyle x \equiv 15a+9, 8a+9{\pmod{21}} \).
Come si può arrivare a questo tipo di soluzione?

[complesso]

Ho risolto così:
\(\displaystyle x \equiv 0{\pmod{7}} \implies a \equiv 0{\pmod{7}} \\
x \equiv 1{\pmod{7}} \implies a \equiv -1{\pmod{7}} \\
x \equiv 2{\pmod{7}} \implies a \equiv -3{\pmod{7}} \\
x \equiv 3{\pmod{7}} \implies a \equiv 1{\pmod{7}} \\
x \equiv -3{\pmod{7}} \implies a \equiv -1{\pmod{7}} \\
x \equiv -2{\pmod{7}} \implies a \equiv 3{\pmod{7}} \\
x \equiv -1{\pmod{7}} \implies a \equiv 1{\pmod{7}} \)
Ho poi riscritto le congruenze che avevano la stessa differenza tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle a \):
\(\displaystyle a \equiv 0{\pmod{7}} \implies x \equiv 0{\pmod{7}} \\
a \equiv 1, -1, 3{\pmod{7}} \implies x \equiv a+2{\pmod{7}} \\
a \equiv 1, -1, -3{\pmod{7}} \implies x \equiv a-2{\pmod{7}} \)
Poi ho risolto i 6 sistemi combinando le 2 congruenze \( \displaystyle x \equiv 0{\pmod{3}} \) e \( x \equiv -a{\pmod{3}} \) trovate come spiegato nel messaggio precedente con le 3 congruenze in funzione di \(\displaystyle a \).
Le soluzioni mi risultano corrette, quindi spero di aver fatto bene.