Esempi polinomi irriducibili

[francicko]

Potreste postarmi alcuni esempi di polinomi irriducibili a coefficienti in $Q$ campo dei razionali, il cui grado del campo di spezzamento è minore di $n!$, grazie!

[megas_archon]

\(x\).

[Martino]

Se per $n$ intendi il grado del polinomio allora $x$ non va bene perché il grado del suo campo di spezzamento è $1$, quindi non è strettamente minore di $1!$ $=1$.

Un esempio è $x^3-3x+1$, il cui campo di spezzamento ha grado $3$ su $QQ$ (quindi strettamente minore di $3!$ $=6$) perché il suo discriminante è $81$, è un quadrato in $QQ$.

[megas_archon]

Ovvio che non va bene (a meno di interpretare "minore" con "non strettamente"), ma è anche la domanda a non andare bene...

[francicko]

Scusate avete ragione, non ho posto correttamente la domanda! Quello che mi interessava è vedere come può essere fatto il campo di spezzamento di un polinomio irriducibile nel campo dei razionali, il cui grado sia $n!$, l'esempio che mi ha riportato Martino ha grado $|E:Q|=n=3$ quindi un campo di spezzamento è $E=Q(x_1)$ dove $x_1$ è una qualsiasi radice del polinomio, mi interesserebbe vedere altresì esempi sempre di polinomi irriducibili in$Q$ con $|E:Q|$ che non sia uguale ad $1$ od $n$.

[Martino]

Se $p$ è un qualsiasi numero primo, il grado del campo di spezzamento di $x^p-2$ (irriducibile per il criterio di Eisenstein) su $QQ$ è uguale a $p(p-1)$, quindi è minore di $p!$ se $p>3$.

Non ti scrivo la dimostrazione, puoi fare una ricerca.