Chiarimenti su \(\displaystyle \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)

[complesso]

Buongiorno,
Dal fatto che \(\displaystyle \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) come si fa a ricavare che \(\displaystyle \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \)?

Se fosse stato \(\displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \) l'avrei scomposto in \(\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \), ma così non sono riuscito a trovare un metodo efficace, neanche scomponendo 6 e 20 in fattori primi. Ho il fattore 2 in comune tra il 6 e il 20 che non capisco come levarmelo di torno.

[otta96]

$6=2\times3, 20=4\times5$

[complesso]

Questo l'ho notato, ma la condizione (colpa mia che non l'ho scritta) perché \( \displaystyle \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) sia valida è che \(\displaystyle m \) e \(\displaystyle n \) siano coprimi. Il fattore 2 rimarrebbe in comune tra il 2 e il 4. Mi sto chiedendo anche il perché del fatto che raggruppi \( (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \) .

[otta96]

Che c'entrano il $2$ col $4$? Poi perchè li ha raccolti in quel modo non ne ho idea.

[complesso]

Che c'entrano il $ 2 $ col $ 4 $? Poi perchè li ha raccolti in quel modo non ne ho idea.

OK, quindi, dal momento che \( \displaystyle \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) e \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) allora \( \displaystyle \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \). Che tu sappia posso quindi raggrupparli come mi pare? Per risolvere l'esercizio, che non ho postato, avere 3 gruppi in quel modo anziché 4 ha la sua utilità. Il mio dubbio era quanto io potessi commutare e raggruppare insiemi a piacimento senza nessun problema.

[otta96]

Si, si per il prodotto diretto di gruppi valgono le proprietà commutativa e associativa.

[complesso]

OK, grazie mille.

[megas_archon]

Si, si per il prodotto diretto di gruppi valgono le proprietà commutativa e associativa.

...a meno di isomorfismo!

[complesso]

Si, si per il prodotto diretto di gruppi valgono le proprietà commutativa e associativa.

...a meno di isomorfismo!

Cioè?