Che cosa significa "esatta potenza di \(\displaystyle p \) che divide \(\displaystyle n! \)"?

[complesso]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto nel comprendere che cosa chiede il seguente esercizio.
"Sia \(\displaystyle n \) un intero positivo, sia \(\displaystyle p \) un numero primo e, per un numero reale \(\displaystyle x \) sia \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) la parte intera di \(\displaystyle x \), ossia il massimo intero \(\displaystyle m \) tale che \(\displaystyle m \leq x \). Dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{h=0}^\infty \left \lfloor \frac{n}{p^h} \right \rfloor \)
è l'esatta potenza di \(\displaystyle p \) che divide \(\displaystyle n! \)"

Provando con \(\displaystyle n = 2 \) e \(\displaystyle p = 2 \), dovrei avere
\(\displaystyle \left \lfloor \frac{2}{2^0} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{2}{2^1} \right \rfloor = 2 + 1 = 3 \)
\(\displaystyle 3 \) dovrebbe essere l'esatta potenza di \(\displaystyle 2 \) che divide \(\displaystyle 2!=2 \). Che cosa significa?

[ghira]

$h$ non parte da 1?

[complesso]

$ h $ non parte da 1?

Sul testo $h$ parte da $0$. Se partisse da $1$, considerando $n=4$ e $p=2$ avremmo
\(\displaystyle \left \lfloor \frac{4}{2^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{4}{2^2} \right \rfloor = 2 +1 = 3 \)
Quindi $3$ è l'esatta potenza di $2$ che divide $4! =24$? $3$ non è una potenza di $2$, ma ora che mi ci fai riflettere forse si intende che tutta la somma $s$ è l'esponente per cui $p^s$ è la massima potenza di $p$ che divide $n!$, ossia $2^3 | 24=2^3 \cdot 3$? Così può avere senso?

[gugo82]

Credo che intenda che il risultato, chiamiamolo $s$, della somma è il massimo esponente di $p$ tale che $p^s$ divide $n!$.

[ghira]

Immaginavo stessimo parlando di https://it.m.wikipedia.org/wiki/Identit ... e_Polignac , tutto qui.

[complesso]

Credo che intenda che il risultato, chiamiamolo $s$, della somma è il massimo esponente di $p$ tale che $p^s$ divide $n!$.

Sì, esattamente. Grazie gugo82.

Immaginavo stessimo parlando di https://it.m.wikipedia.org/wiki/Identit ... e_Polignac , tutto qui.

Grazie mille ghira! Non conoscevo questa identità e il libro di testo la propone come semplice esercizio senza nominarla. Ora è tutto chiarissimo!

[ghira]

il libro di testo la propone come semplice esercizio

È abbastanza semplice. Ma si parte da 1.