Esercizio sottogruppi ciclici del gruppo simmetrico

[jontao]

"Elencare tutti i sottogruppi ciclici di ordine 9 del gruppo simmetrico $ S_6$"

Ho un dubbio su questo esercizio riguardo all'esistenza dei sottogruppi ciclici di ordine 9 di $S_6$:
Se ci fosse un sottogruppo ciclico $H$ di ordine 9 allora dovrebbe esistere una permutazione $\sigma \in S_6$ di ordine
9.
Sappiamo che pensando $\sigma$ come composizione di cicli disgiunti $\sigma = \gamma_1* gamma_2 * ... * \gamma_r $allora $\sigma^k = \gamma_1^k* gamma_2^k * ... * \gamma_r^k = 1 $ se e solo se $\gamma_i^k =1$ per ogni $i$, per cui $k$ è un multiplo di $k_i$ dove $k_i$ è l'ordine di $\gamma_i$. Chiaramente il più piccolo $k$ per cui $\sigma=1$ (cioè l'ordine di $\sigma$) è il minimo comune multiplo dei $k_i$.
La mia domanda è:
Se $k_i \in {1,2,3,4,5,6}$ come può il minimo comune multiplo essere 9??

[Martino]

Non può. Il tuo argomento è corretto e mostra che $S_6$ non ha sottogruppi ciclici di ordine $9$.

[jontao]

Grazie!