Concatenazione ordinali inferiori ad un certo ordinale

[bub]

\(f(\omega^x\cdot 2)=\omega^{2x}\) [semmai \(\omega^{x2}\)?]

Convincimene: per calcolare \(f(\omega^x\cdot 2)\) bisogna fare \(\sup\{f\alpha \mid \alpha < \omega^x2\}\), e da qui?

Questo lo riesco a calcolare in generale, assumendo però che $omega^x$ è un punto fisso e $x$ non è nullo. Per le altre applicazioni di $f$ credevo di riuscirci, ma c'era un errore nel ragionamento a seguire, ho scambiato un valore costante per una variabile.
(uso la notazione moltiplicativa come piace a te, ma ripeto, è una convenzione)

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + (omega^x + 1) + (omega^x + 2) + ... + (omega^x + omega) + ...$

ora quello che si aggiunge dietro a $omega^x$ (tra le parentesi), cioé $1, 2, omega, ...$ è sempre minore di $omega^x$, quindi l'ordinale successivo che inizia sempre con $omega^x$ lo assorbe... La sommatoria infinita perciò si riduce a

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + omega^x + (1 + omega^x) + (2 + omega^x) + ... + omega^x + (omega + omega^x) + ...$

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + omega^x + omega^x + omega^x + ... + omega^x + omega^x + omega^x +...$

Nelle posizioni dell'"ordinale sommatoria" ci finiscono solo $omega^x$, le posizioni di che tipo di ordine sono? Di come sono disposti gli ordinali minori di $omega^x$, cioé il tipo di ordine rappresentato proprio da $omega^x$.
Quindi per calcolare la somma che si trova a seguire bisogna moltiplicare $omega^x * omega^x$.
Otteniamo così

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^(x*2) = omega^x + omega^(x*2) = omega^(x*2)$

La seconda uguaglianza vale perché $omega^x$ abbiamo assunto che è un punto fisso, l'ultima uguaglianza vale perché l'esponente $x*2$ è maggiore di $x$, dato che non è nullo $x$ e $omega$ elevato all'esponente maggiore assorbe l'altro addendo.

Sto cercando di mettere a posto l'altra "dimostrazione" dove calcolo anche le altre applicazioni di $f$, ma non ci sono riuscito ancora.
Dovrebbe valere in generale (indipendentemente dal fatto che si assume che $omega^x$ è punto fisso) che, dato un $n$ finito maggiore o uguale ad $1$ e $x$ non nullo.

$omega ^ (x * (2*n - 1)) <= f(omega^ (x * n)) <= omega^ (x * (2*n))$

La prima disuguaglianza vale perché $omega^x * (n - 1)$ viene ripetuto e compare nella sommatoria almeno $omega^ (x * n)$ volte, la seconda perché se si sostituisce un addendo maggiore ad ogni addendo di una sommatoria illimitata si otterrà un ordinale maggiore o uguale a quello che corrisponde al risultato della sommatoria.
Sono convinto però che se $omega^x$ è punto fisso prende il valore minino di quell'intervallo, ma ancora non sono riuscito a tirare fuori una cosa che mi persuada al 100%.

[bub]

Adesso ho una prova abbastanza convincente, dimostro solo una delle applicazioni di $f$, le altre si dimostrano in modo analogo, per fare poi una dimostrazione generale che le comprenda tutte bisogna usare una variabile.
Comunque ora mostro che è valido in generale che.

$f(omega^((omega^x) * 2)) = omega^((omega^x) * 3)$

questa cosa è indipendente da ipotesi relative a punti fissi, vale per tutti gli ordinali di questa forma qua.

1) Mostriamo prima che

$omega^((omega^x) * 3) <= f(omega^((omega^x) * 2))$


questa cosa è valida perché

$f(omega^((omega^x) * 2)) = f(omega^(omega^x)) + omega^(omega^x) + (omega^(omega^x) + 1) + (omega^(omega^x) + 2) + ... $

Nella sommatoria $omega^(omega^x)$ (termine che otteniamo togliendo un'unità al $2$ moltiplicativo nell'esponente) compare $omega^((omega^x) * 2)$ volte (in senso ordinale) quindi tutta la sommatoria deve avere un valore maggiore o uguale al prodotto

$omega^(omega^x) * omega^((omega^x) * 2)$ che è uguale a

$omega^((omega^x) * 3)$.


2) Mostriamo che

$f(omega^((omega^x) * 2)) <= omega^((omega^x) * 3)$


per dimostrare questa cosa dimostriamo che


per ogni $y < omega^((omega^x) * 2)$ si ha che $f(y) < omega^((omega^x) * 3)$


Se tutti i valori delle somme parziali (dei minori) sono minori del valore $omega^((omega^x) * 3)$ vuol dire che la sommatoria totale (essendo il limite delle somme parziali) è minore o uguale a $omega^((omega^x) * 2)$.

Siccome vale sempre $f(y) <= y ^ 2$ qualsiasi sia $y$ (l'ho spiegato nel messaggio precedente) mostriamo che

Se $y < omega^((omega^x) * 2)$ allora $y ^ 2 < omega^((omega^x) * 3)$.

Se dimostriamo che tutti i quadrati degli $y$ sono minori di $omega^((omega^x) * 3)$ siccome le sommatorie sono minori o uguali ai quadrati, a fortiori tutte le sommatorie degli $y$ saranno minori di $omega^((omega^x) * 3)$.

una successione ordinale che si avvicina sempre di più al valore $omega^((omega^x) * 2)$ è data dagli ordinali della forma

$omega^((omega^x) + z)$ con $z < omega^x$

Qualsiasi valore $y < omega^((omega^x) * 2)$ verrà superato prima o poi da qualche $omega^((omega^x) + z)$ dato che quel tipo di ordinali fanno aumentare l'esponente di $omega$ il più possibile.
Se quadriamo questi termini, otteniamo...

$omega^((omega^x + z) + (omega^x + z)) =$

$= omega^((omega^x) * 2 + z) < omega^((omega^x) * 3)$

dato che $z <omega^x$.

Le due disuguaglianze 1) e 2) provano l'identità che si voleva dimostrare.




Osservazione. Tutte le altre uguaglianze si determinano in modo analogo, ad esempio per mostrare che

$f(omega^((omega^x) * 3)) <= omega^((omega^x) * 5)$

bisogna prendere gli $y$ inferiori di $omega^((omega^x) * 3)$ e mostrare che $y^2 < omega^((omega^x) * 5)$ usando la successione ordinale che si avvicina di più a $omega^((omega^x) * 3)$, cioé...

$omega^((omega^x) * 2 + z) $ con $z < omega^x$

se si quadra un qualsiasi termine di questo tipo il termine resta strettamente minore di $omega^((omega^x) * 5)$.




Quindi ora sono abbastanza sicuro che

$0, 3, omega^(omega^x)$ (quando $x = 0$ viene fuori anche $omega$)

sono tutti e soli i punti fissi di $f$, la traccia di dimostrazione precedente esclude anche gli altri casi ancora possibili.
Se avete bisogno di chiarimenti scrivete, ho un po' compattato tutto se no diventava troppo lungo il discorso.

P. S. Negli ultimi messaggi ho usato la notazione moltiplicativa più diffusa, io mi ero abituato a quella inversa, ma comunque mi sono adeguato.