Buongiorno,
non capisco il seguente passaggio di un esercizio.
Abbiamo \(\displaystyle X = \{1, 2, ..., 100\} \) e dobbiamo calcolare la cardinalità di \(\displaystyle B = \{f: X \to X \ \ |\ \ f^2(x) = 1 \ \ \forall x \in X\} \). Avevo cercato di risolverlo con le congruenze, ma la soluzione che propone è completamente diversa.
"Sia \(\displaystyle f \in B \) e sia \(\displaystyle Y = f^{-1}(1) \), allora \(\displaystyle Y \) è non vuoto perché \(\displaystyle 1 \in f(X) \). Inoltre \(\displaystyle f(Y) = \{1\} \) e \(\displaystyle 1 \notin f(X \setminus Y) \). Si verifica facilmente che la condizione \(\displaystyle f^2(X) = \{1\} \) è equivalente a \(\displaystyle \{1\} = f(Y) \subseteq Y \) e \(\displaystyle f(X \setminus Y) \subseteq Y \), allora per quanto detto sopra \(\displaystyle f(X \setminus Y) \subseteq Y \setminus \{1\} \)."
Non capisco l'ultima frase. Sto cercando un esempio di funzione che non sia banale per capire quello che l'esercizio dice che si verifica facilmente.
Ho provato a disegnare \(\displaystyle X = \{a, b, c, d, ...\} \) che tramite \(\displaystyle f(X) \) manda \(\displaystyle \{a, b, c\} \) in \(\displaystyle 1 \) e il resto in altri elementi. A questo punto \(\displaystyle f^{-1}(1)=\{a, b, c\} \subseteq X \). Ma se \(\displaystyle a = 1 \), \(\displaystyle f(X \setminus Y) = f(\{d, ...\}) \) perché dovrebbe essere contenuto in \(\displaystyle Y \setminus \{1\} = \{b, c\} \) ? Forse devo trovare un esempio o un'idea più specifica, ma sono difficoltà. Avrei bisogno di un'illuminazione.