Trovare gli elementi di ordine massimo in un gruppo

[complesso]

Mi sarebbe d'aiuto qualche idea per risolvere il seguente esercizio: "quali sono gli elementi di ordine massimo in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^* \)? E in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^* \)?"
Sapere che l'ordine di un elemento divide $varphi(13)=12$ non mi sembra di aiuto, dal momento che chiede quali elementi hanno ordine massimo. Provarli uno a uno mi sembra un esercizio molto lungo e meccanico e mi sembra strano che sia così.

[complesso]

Ho pensato che \(\displaystyle a^{12} \equiv 1 \pmod{13} \iff (a^6)^2 \equiv 1 \pmod{13} \implies a^6 \equiv 1 \pmod{13} \lor a^6 \equiv -1 \pmod{13} \).
Stesso ragionamento partendo da $a^6$ invece che da $a^12$. Quindi, se arrivato ad $a^3$ non ho ancora trovato un valore congruo a \(\displaystyle -1 \pmod{13} \), allora posso dire che l'ordine dell'elemento è 12. Se, invece, \(\displaystyle a^3 \equiv -1 \pmod{13} \) allora posso dire che l'ordine dell'elemento è 6. In questo modo provo soltanto, nel caso peggiore, le potenze fino al cubo.
Modi per evitare di far scorrere tutti gli elementi dell'insieme però non me ne sono ancora venuti in mente. Qualche osservazione?

[Martino]

Il modo più semplice per risolvere questi esercizi è usare il fatto che

$(ZZ//nZZ xx ZZ//mZZ)^ast = (ZZ//nZZ)^ast xx (ZZ//mZZ)^ast$

e il fatto che (teorema cinese del resto) se $n,m$ sono coprimi allora

$ZZ//nmZZ cong ZZ//nZZ xx ZZ//mZZ$

(isomorfismo di anelli).

Inoltre ricorda che se $p$ è un numero primo allora il gruppo moltiplicativo $(ZZ//pZZ)^ast$ è ciclico.

[complesso]

Grazie Martino della risposta. Come posso usare queste proprietà per capire quali elementi hanno ordine massimo? Li devo comunque provare uno a uno? Provo con il $2$: \(\displaystyle 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8 \not\equiv -1 \pmod{13} \) quindi $\text{ord}(2) = 12$. Provo con il $3$: \(\displaystyle 3^1=3, 3^2=9, 3^3 \equiv 1 \pmod{13} \) quindi $\text{ord}(3) = 3$. Così via con tutti gli altri elementi di $ (ZZ//13ZZ)^ast$?

[Martino]

In un gruppo ciclico di ordine $n$ l'ordine massimo di un elemento è ovviamente $n$. Siccome $(ZZ//13ZZ)^ast$ è ciclico, l'ordine massimo dei suoi elementi è il suo ordine, cioè $13-1=12$.

[complesso]

Sì, ma l'esercizio mi chiede quali sono gli elementi di ordine massimo. Li devo provare uno a uno?

[Martino]

Ah scusa mi era sfuggito. Sì certo li devi provare uno a uno ma non mi sembra un lavoro enorme. Per esempio se ne trovi uno, li hai trovati tutti (basta elevare agli esponenti coprimi con l'ordine).

[complesso]

OK, grazie mille. Quindi per trovare gli elementi di ordine massimo in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^* \) comincio da $2$.
$2^1 = 2$,
$2^2 = 4$,
$2^3 = 8$.
A questo punto so che $\text{ord}(2)=12$.
Quindi esistono $\varphi(12)=4$ elementi di ordine $12$ che sono:
$2$, $2^5=6$, $2^7=-2$, $2^11=-6$.
In generale esistono quindi $\varphi(\varphi(p))$ elementi di ordine $p$ in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* \).

Per quanto riguarda \(\displaystyle (\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^* \), comincio da $3$.
$3^1 = 3$,
$3^2 = 9$,
$3^3 = 7$,
$3^4 = 1$.
A questo punto, visto che $\text{ord}(3)=4$, allora $\text{ord}(-3)=8$ ed è il massimo ordine, essendo $\varphi(20)=8$.
In questo caso però non vale il fatto che basta elevare agli esponenti coprimi con l'ordine perché $(-3)^5=3$ che non ha ordine $8$. Immagino che sia perché $20$ non è primo, ma mi sfugge il motivo formale. Ho capito male qualcosa?

[Martino]

Ma l'ordine di $-3$ non è $8$, è $4$. Prova a fare il conto.

[complesso]

Vero, perché l'ordine di $3$ è pari e quindi l'ordine di $-3$ resta lo stesso, ossia $4$. Quindi provando anche gli altri elementi risulta:
$\text{ord}(3) = 4$,
$\text{ord}(7) = 4$,
$\text{ord}(9) = 2$,
per cui $3$, $-3$, $7$, $-7$ sono gli elementi di ordine massimo che in questo caso hanno ordine $4$ e \(\displaystyle (\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^*\) non è ciclico.
Grazie del paziente aiuto come sempre