$\text{ker}(f) \cap \text{Im}(f)=\{e\}$ di un omomorfismo tale che $f \circ f = f$

[complesso]

Buongiorno, penso che non stia considerando qualche caso, perché altrimenti questo esercizio sarebbe banale.

"Sia G un gruppo e sia $f:G \rarr G$ un omomorfismo tale $f \circ f = f$. Dimostrare che $\text{ker}(f) \cap \text{Im}(f)=\{e\}$."

Se $f \circ f = f$, significa che $\forall x \in G \ \ f(f(x))=f(x)$, ma allora $f(x) = x \ \ \forall x \in G$. Quindi $\text{ker}(f) = \{e\}$ e $\text{Im}(f) = G$.

Mi potreste aiutare per favore a capire l'errore e dare un esempio in cui non è così?

[ghira]

$f(x,y)=(x,0)$

[complesso]

$ f(x,y)=(x,0) $

Geniale, grazie!

[hydro]

Se $f \circ f = f$, significa che $\forall x \in G \ \ f(f(x))=f(x)$, ma allora $f(x) = x \ \ \forall x \in G$.

Questo è falso in generale, però è vero se $f$ è suriettiva o iniettiva.

[complesso]

Se $ f \circ f = f $, significa che $ \forall x \in G \ \ f(f(x))=f(x) $, ma allora $ f(x) = x \ \ \forall x \in G $.

Questo è falso in generale, però è vero se $ f $ è suriettiva o iniettiva.

Grazie della precisazione hydro. Mi possono sempre risultare utili
Mi sono accorto della falsità dell'implicazione logica dopo l'esempio di ghira. Altro esempio banale è $f(x) = 0 \ \ \forall x \in G$. Infatti si ha $f(f(x))=f(0)=0=f(x)$.