Gruppo ciclico di $RR$

[andreadel1988]

Si consideri il sottogruppo additivo $H$ di $RR$ generato da $2\pi$ e da $\alpha$. Mostrare che se $\alpha/(2\pi)inQQ$ allora $H$ è ciclico.
Allora io ho pensato di fare così:
$H=(\alpha,2\pi)$ per cui ogni elemento $hinH$ si scrive come $h=\alphan+2\pim$ con $n,m inZZ$. Ora siccome $\alpha/(2\pi)inQQ$ allora $EEqinQQ$ tale che $\alpha=2\piq$ per cui ogni elemento $hinH$ si riscrive come $h=2\pi(qn+m)$. Quindi $H$ lo posso scrivere come $H=2\piK$ dove $K={qn+m|n,m inZZ}=(q,1)$. Si ha che $K$ è un sottogruppo additivo di $QQ$ finitamente generato per cui $K$ è ciclico, ovvero $EEkinK$ tale che $K=(k)$, ma allora $H=(2\pik)$ da cui $H$ è ciclico.
Ovviamente vale anche il contrario, ovvero se $H$ è ciclico allora $\alpha/(2\pi)inQQ$, infatti preso $h=\alphan+2\pim$ con $n,m inZZ$ generatore di $H$ si ha che $EEkinZZ$ tale che $kh=2\pi$ da cui si ricava che $\alpha/(2\pi)=(1-km)/(nk)inQQ$ poichè $k,n,m inZZ$.