Dimostrazione (-1)x=-x?

[serafinon]

Ti ringrazio molto per la gentile risposta. In realtà mi sono accorto del lapsus e avevo scritto neutro in ultima riga, quando avevo in testa l'inverso (e ne avevo parlato per tutto il messaggio )

Il dubbio mi era sorto perché quando dimostro l'unicità dell'inverso sfrutto l'associatività:

sia Z e X ipotetici inversi di Y
$X=X*(Y*Z)=(X*Y)*Z=Z$

e quindi mi incuriosiva capire quanto intimo fosse questo legame con l'associatività, però capisco dalla tua risposta non valga il ragionamento opposto del mio messaggio precedente.

Ma in generale è vero l'opposto: tutte gli insiemi con un elemento inverso hanno la prop. associativa (per quell'operazione)?

Per via delle aggiunte di cui parlavi (possibili anche per gli inversi unici -cioè per cui suppongo un unico inverso per un dato elemento-) che non sempre preservano l'associatività.

Per farla breve:
- se ho associatività ho unicità dell'inverso.
- ma se ho inversi unici non è detto che mi trovi di fronte a una operazione associativa.

[Martino]

Per farla breve:
- se ho associatività ho unicità dell'inverso.
- ma se ho inversi unici non è detto che mi trovi di fronte a una operazione associativa.

Esatto, un esempio facile è dato dall'insieme $RR_(ge 0)$ dei numeri reali non negativi con l'operazione

$a ast b = |a-b|$

Essa è commutativa e ha $0$ come unico elemento neutro e l'inverso (unico) di $a$ è lo stesso $a$, tuttavia non è associativa perché

$(1 ast 2) ast 3 = 1 ast 3 = 2$
$1 ast (2 ast 3) = 1 ast 1 = 0$

[serafinon]

Direi che è chiaro. Grazie mille!