Dimostrazione (-1)x=-x?

[serafinon]

Sera,

sto studiando algerba lineare, e purtroppo non ho una infarinatura di algebra di base in quanto nel cdl ingegneristico non viene fatta quindi avrei una lacuna.

Il professore ha posto come prorpietà di uno spazio vettoriale che (assumendo il prodotto per scalare): $(-1)*x=-x$ ossia è dimostrabile che l'opposto di un x vettore che esiste sicuramente per definizione di spazio vettoriale si può rendere come -1 per il vettore x.

Ho cercato di capire autonomamente meglio da cosa discendesse e mi pare di capire che questa prorpietà sia tipica anche dei campi o meglio dei corpi (essendo dotati di due operazioni): (A,+)(A-{0},*), infatti per farlo serve almeno il "per".

Ma, non riesco però a capire come dimostrare appunto che (almeno in un corpo) e quindi sarà simile per lo spazio vettoriale: $(-1)*x=-x$ ove -1 è l'opposto del neutro per il gruppo con operazione *.

E' semplicissimo ma sono bloccato.

[axpgn]

Vedi qui ed in particolare la sezione "Theorem AISM: Additive Inverses from Scalar Multiplication"

[serafinon]

Vabbé, dillo che sei un BOT .
Ti ringrazio, ci guardo e ti dico se come al solito non capisco una cippa

[axpgn]

No, è semplice anzi quel sito è un "corso base di algebra lineare" magari può esserti utile in generale.

[serafinon]

Molto carina, avevo provato a giocarci in molti modi ma non mi veniva e mi ingarbugliavo un sacco. E' chiara.

Una domanda aggiuntiva è: ma è corretto quanto ho compreso leggendo qua e la di algebra base, ossia che la struttura piu semplice con quella proprietà dimostrabile è un corpo?

[axpgn]

Ah, quello chiedilo ad un matematico, io non lo sono

[serafinon]

Allora vediamo se passa qualche matematico volenteroso

Però grazie per aver risolto una buona fetta del dubbio iniziale!

[Martino]

La struttura minimale in cui vale quello che dici è quella di $ZZ$-modulo (vedi qui). Esempi di $ZZ$-moduli sono gli anelli (anche non commutativi rispetto alla moltiplicazione) e appunto gli spazi vettoriali.

[serafinon]

Grazie per la risposta. Non conoscevo questo signore.

Posso chiederti una ulteriore delucidazione? Sempre nelle varie proprietà, mi paicerebbe chiederti: quando dimostro l'unicità di un elemento inverso sfrutto l'associatività. Quindi mi verrebbe da dire che se per un dato insieme c'è la prop. associativa e ho un elemento neutro sono a cavallo ed è unico. Ma in generale è vero l'opposto: tutte gli insiemi con un elemento inverso hanno la prop. associativa (per quell'operazione)?

[Martino]

Stai parlando dell'unicità dell'inverso o dell'unicità dell'elemento neutro?

Per esempio consideriamo il secondo caso. L'esistenza e/o l'unicità dell'elemento neutro è del tutto scollegata da altre proprietà quali l'associatività. Un'operazione è definita dalla sua tabella, se manca l'elemento neutro tu puoi semplicemente aggiungercelo.

Per dirti, supponiamo che tu abbia un insieme con due elementi distinti $x,y$, cioè l'insieme ${x,y}$, e un'operazione definita su tale insieme in questo modo:

\( \displaystyle \begin{array}{c|c|c}
\ast & x & y \\ \hline x & y & x \\ \hline y & y & y
\end{array} \)

In altre parole:

\( \displaystyle xy=x \) , \( \displaystyle yx=y \) , \( \displaystyle xx=y \) , \( \displaystyle yy=y \)

Questa operazione non è associativa perché per esempio

\( \displaystyle (xy)x=xx=y \)
\( \displaystyle x(yx)=xy=x \)

sono diversi.

Non ha elemento neutro perché $x$ non è elemento neutro essendo $xy=x ne y$ e $y$ non è elemento neutro essendo $yx=y ne x$.

Ora possiamo aggiungere un elemento $e$ ottenendo un insieme ${e,x,y}$ in cui definiamo le operazioni con $e$ in modo che sia elemento neutro, cioè

$xe=x$, $ex=x$, $ye=y$, $ey=y$, $ee=e$.

Otteniamo la tabella

\( \displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}
\ast & e & x & y \\
\hline e & e & x & y \\
\hline x & x & y & x \\
\hline y & y & y & y
\end{array} \)

Ovviamente questa nuova operazione non è associativa per lo stesso motivo per cui l'operazione vecchia (quella su ${x,y}$) non era associativa.

Ti ho fatto questo esempio per mostrarti che se hai un'operazione qualsiasi su un insieme e non c'è elemento neutro, ce lo puoi aggiungere tu e ottieni un nuovo insieme con un elemento in più, ma stavolta esiste l'elemento neutro ed è unico. Inoltre se l'operazione vecchia non era associativa, ovviamente nemmeno la nuova lo sarà.

Un discorso analogo vale per gli inversi, se mancano li puoi aggiungere. Il problema però nasce nel momento in cui hai un'operazione associativa (per esempio) e vuoi aggiungere elementi (aggiungendo le relative operazioni dei nuovi elementi coi vecchi) preservando l'associatività. Questo è molto più difficile e non sempre è possibile (nel caso tu aggiunga solo l'elemento neutro, l'associatività è preservata, ma in generale no). Potrebbe essere possibile in casi estremi, dovrei controllare, ma il punto è che l'associatività genera molte restrizioni: coinvolge tutti gli elementi ed è una proprietà molto forte e, al contrario di quanto possa sembrare, molto rara, nel senso che se scrivi una tabella di moltiplicazione sostanzialmente a caso, è quasi impossibile che tu ottenga un'operazione associativa.

Quindi per riassumere, l'esistenza (e/o unicità) di elementi neutri o inversi non implica l'associatività.