da Martino » 21/04/2023, 18:15
Stai parlando dell'unicità dell'inverso o dell'unicità dell'elemento neutro?
Per esempio consideriamo il secondo caso. L'esistenza e/o l'unicità dell'elemento neutro è del tutto scollegata da altre proprietà quali l'associatività. Un'operazione è definita dalla sua tabella, se manca l'elemento neutro tu puoi semplicemente aggiungercelo.
Per dirti, supponiamo che tu abbia un insieme con due elementi distinti $x,y$, cioè l'insieme ${x,y}$, e un'operazione definita su tale insieme in questo modo:
\( \displaystyle \begin{array}{c|c|c}
\ast & x & y \\ \hline x & y & x \\ \hline y & y & y
\end{array} \)
In altre parole:
\( \displaystyle xy=x \) , \( \displaystyle yx=y \) , \( \displaystyle xx=y \) , \( \displaystyle yy=y \)
Questa operazione non è associativa perché per esempio
\( \displaystyle (xy)x=xx=y \)
\( \displaystyle x(yx)=xy=x \)
sono diversi.
Non ha elemento neutro perché $x$ non è elemento neutro essendo $xy=x ne y$ e $y$ non è elemento neutro essendo $yx=y ne x$.
Ora possiamo aggiungere un elemento $e$ ottenendo un insieme ${e,x,y}$ in cui definiamo le operazioni con $e$ in modo che sia elemento neutro, cioè
$xe=x$, $ex=x$, $ye=y$, $ey=y$, $ee=e$.
Otteniamo la tabella
\( \displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}
\ast & e & x & y \\
\hline e & e & x & y \\
\hline x & x & y & x \\
\hline y & y & y & y
\end{array} \)
Ovviamente questa nuova operazione non è associativa per lo stesso motivo per cui l'operazione vecchia (quella su ${x,y}$) non era associativa.
Ti ho fatto questo esempio per mostrarti che se hai un'operazione qualsiasi su un insieme e non c'è elemento neutro, ce lo puoi aggiungere tu e ottieni un nuovo insieme con un elemento in più, ma stavolta esiste l'elemento neutro ed è unico. Inoltre se l'operazione vecchia non era associativa, ovviamente nemmeno la nuova lo sarà.
Un discorso analogo vale per gli inversi, se mancano li puoi aggiungere. Il problema però nasce nel momento in cui hai un'operazione associativa (per esempio) e vuoi aggiungere elementi (aggiungendo le relative operazioni dei nuovi elementi coi vecchi) preservando l'associatività. Questo è molto più difficile e non sempre è possibile (nel caso tu aggiunga solo l'elemento neutro, l'associatività è preservata, ma in generale no). Potrebbe essere possibile in casi estremi, dovrei controllare, ma il punto è che l'associatività genera molte restrizioni: coinvolge tutti gli elementi ed è una proprietà molto forte e, al contrario di quanto possa sembrare, molto rara, nel senso che se scrivi una tabella di moltiplicazione sostanzialmente a caso, è quasi impossibile che tu ottenga un'operazione associativa.
Quindi per riassumere, l'esistenza (e/o unicità) di elementi neutri o inversi non implica l'associatività.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.