Esistenza di sottogruppi ciclici di ordine $p-1$.

[complesso]

Dalla soluzione di un esercizio mi sembra di aver capito che se un gruppo $G$ (nel mio caso di ordine $p(p-1)$) ha un sottogruppo ciclico $H$ di ordine un multiplo di $p-1$ allora esiste un sottogruppo ciclico $K \leq G$ di ordine $p-1$. E' corretto? Esiste qualche teorema a proposito?

[hydro]

E’ ovvio perché un gruppo ciclico di ordine $n$ possiede un sottogruppo di ordine $m$ per ogni $m$ che divide $n$.

[complesso]

E’ ovvio perché un gruppo ciclico di ordine $ n $ possiede un sottogruppo di ordine $ m $ per ogni $ m $ che divide $ n $.

Grazie mille hydro della conferma.