Gli insiemi $Y^X$

[andreadel1988]

Se $X$ e $Y$ sono due insiemi, indichiamo con $Y^X$ l’insieme delle funzioni da $X$ a $Y$ .
Siano $X,Y,T$ tre insiemi. Si costruisca una bigezione tra l’insieme $Y^(XxxT)$ e l’insieme $(Y^X)^T$.
Ho definito la seguente funzione $h: Y^(XxxT)->(Y^X)^T$ definita come $h(f)=g$ tale che $f(-,t)=g(t)$ $AAtinT$.
1) $h$ è iniettiva, infatti siano $f_1,f_2inY^(XxxT)$ tale che $h(f_1)=h(f_2)$, allora si ha che $f_1(-,t)=f_2(-,t)$ $AAtinT$ da cui si ottiene che $f_1=f_2$.
2) $h$ è suriettiva: sia $gin(Y^X)^T$, prendo la funzione in $Y^(XxxT)$ definita come $f(x,t)=(g(t))(x)$ $AAtinT$, $AAx inX$, si ha che $h(f)=g$.

Tutto corretto?

[megas_archon]

Sì; ad essere in biiezione, in maniera naturale in $X,T,Y$, sono \(Y^{X\times T},(Y^X)^T\) e \((Y^T)^X\). E' circa il motivo per cui valgono le proprietà delle potenze.

[andreadel1988]

ad essere in biiezione, in maniera naturale in $X,T,Y$, sono \(Y^{X\times T},(Y^X)^T\) e \((Y^T)^X\). E' circa il motivo per cui valgono le proprietà delle potenze.

Ah quindi le proprietà delle potenze vengono dalla biiezione fra insiemi di questo tipo?

[megas_archon]

Precisamente.

[andreadel1988]

Precisamente.

Grazie, non lo sapevo.