Inversi sinistri (molto sinistri :\) e destri

[Martino]

Lì serafinon stava solo riportando degli argomenti, non stava chiedendo niente. Continuando a leggere trovi il suo dubbio:

ma io uso a priori il fatto che esiste l'inversa in P1) per giungere a quel risultato, e messa così non mi pare corretta.

Come vedi il dubbio riguarda l'esistenza dell'inversa.

Comunque aspetta che ti risponda serafinon, che è il diretto interessato.

[serafinon]

Forse puoi anche vederla così:
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.

Mi sembra coerente, no?

Scusa se ti rispondo solo ora ma da un po' non effettuavo l'accesso. C'è comunque un punto che mi sembra sbagliato (dovrei trovare un controesempio ma non me ne sovvengono, magari ad altri utenti sì): tu dici - erroneamente a mio parere - che vale questo "teorema": <<dato che esiste inversa sappiamo che inverso dx e sx coincideranno => quando esiste inversa sx allora esiste inversa dx data quella unicità di ipotesi>>.

Tuttavia a me sembra che la definizione dice solo "l'inverso destro e l'inverso sinistro di x se esistono, coincidono. Di più: l'inverso di x , se esiste, è unico.
Ma la condizione è se esistono ambo gli inversi dx e sx! Tu invece dici esistendo inversa (totale)¹ unica allora se ho inverso dx coincide con inverso sx data l'unicità che supponi, questa conclusione mi sembra falsa: in generale potrebbe non essere vero che avendo un elemento inverso (totale) allora tutti gli inversi sx coincidono con quell'elemento. Potrebbe esserci un secondo elemento che è comunque inverso sinistro, pur non essendo inverso (totale). Non so se ho spiegato.


Vorrei chiedere a qualcuno se quello che dico è giusto, perché secondo me quello nel quote presenta questo errore. Magari sbagio io però

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Note

1. lo chiamo così per dire in modo improprio e abbreviato che: è sia inverso dx che sx ↑

[serafinon]

Quanto dici tu funzionerebbe se avessimo commutatività (la quale ci garantirebbe di avere sempre per ogni inverso sx anche un destro) e (unicità) per via della associatività, direi.

[Martino]

Serafinon, stai facendo molta filosofia (senza offesa!), quello che Il_Gariboldi sta dicendo è che se hai una matrice quadrata $A$ (a coefficienti in un campo, per esempio $RR$) che ha un'inversa a sinistra $B$, cioè $BA=1$, allora vale $AB=1$. Questo è vero, ha una sua dimostrazione che non è del tutto banale, bisogna usare un po' di algebra lineare (la semplice manipolazione algebrica delle uguaglianze non basta in questo caso). Cioè Il_Gariboldi sta dando per conosciuto il fatto che se una matrice quadrata ha un'inversa a sinistra, allora essa è anche inversa a destra. A me sembrava che il tuo dubbio riguardasse appunto la dimostrazione di questo fatto, cioè tu non lo dai per conosciuto, lo vuoi dimostrare. Il_Gariboldi invece dà questo fatto per conosciuto.

In generale un oggetto matematico può avere inversa da un lato ma non dall'altro. Per esempio la funzione $f:ZZ to ZZ$ definita da $f(x)=2x$ (dove $ZZ$ è l'insieme dei numeri interi) ha un'inversa a sinistra che è la funzione $g:ZZ to ZZ$ definita da

\( \displaystyle g(x)= \left\{ \begin{array}{l} x/2 \mbox{ se } x \mbox{ è pari} \\ 0 \mbox{ se } x \mbox{ è dispari.} \end{array} \right. \)

Infatti $g(f(x))=g(2x)=x$. Tuttavia $g$ non è inversa a destra perché $f(g(x))=f(0)=0$ ogni volta che $x$ è dispari. Analogamente, $g$ ha un'inversa a destra che è proprio $f$ ma $f$ non è inversa di $g$ a sinistra (per lo stesso conto che ho fatto qui sopra). Inoltre puoi mostrare per esercizio che $f$ non ha nessuna inversa a destra e che $g$ non ha nessuna inversa a sinistra. Se vuoi, puoi mostrare che in generale una funzione ammette inversa a sinistra se e solo se è iniettiva, ammette inversa a destra se e solo se è suriettiva.

Nel caso delle matrici quadrate su un campo (per esempio su $RR$) è diverso, ogni inversa a sinistra è anche inversa a destra.

[serafinon]

Ok perfetto allora ho solo frainteso ti ringrazio per i molti bei esempi , però sono contento perché mi ha fatto comunque porre una domanda credo utile alla mia comprensione più approfondita del concetto.

Quello che vorrei chiedere ora, slegando dalle imcomprensioni precedenti, sono questi due fatti:

1) se io so che ho un elemento inverso (quindi sia dx che sx) per una certa operazione su un insieme con associetività, questo mi basta per concludere che: il fatto di avere un inverso (totale) mi permette di dire che quando trovo una inversa sx allora esiste anche inversa dx data l'unicità? Direi di no per i motivi che dicevo sopra: non tutti gli inversi sinistri coincidono per forza con l'inverso (totale che so esistere per hp.). E' sbagliato?

2) questo funzionerebbe invece se avessimo commutatività (la quale ci garantirebbe di avere sempre per ogni inverso sx anche un destro) e (unicità) per via della associatività. No?

grazie

[serafinon]

1) se io so che ho un elemento inverso (quindi sia dx che sx) per una certa operazione su un insieme con associetività, questo mi basta per concludere che: il fatto di avere un inverso (totale) mi permette di dire che quando trovo una inversa sx allora esiste anche inversa dx data l'unicità? Direi di no per i motivi che dicevo sopra: non tutti gli inversi sinistri coincidono per forza con l'inverso (totale che so esistere per hp.). E' sbagliato?

Sì è sbagliato! perché in effetti avendo inversa io sto affermando che avrà inversa destra, se trovo una sinistra qualsiasi posso concludere che essi coincidono e sono unici. Quindi, ogni volta che trovo un inverso sinistro, se ho (noto) che ho inversto (totale) allora concludo che quell'inverso sinistro coincide sempre con l'inverso (totale).

Mi ero incartato su questa cosa. Ma ora mi sembra giuto

[Martino]

Ok allora provo a formulare la tua domanda in modo inequivocabile.

Sia $M$ un insieme dotato di un'operazione associativa con elemento neutro $1$ tale che, per ogni $a in M$, esiste $b in M$ tale che $ab=ba=1$. Sia ora $a in M$ e sia $c in M$ tale che $ca=1$. E' vero che $ac=1$?

La risposta è sì perché, usando tutte le ipotesi, abbiamo che

$ac = (ac) * 1 = (ac) * (ab) = a*(ca)*b = a*1*b = ab = 1$

Cioè se hai un'operazione associativa per cui esistono gli inversi (globali, cioè sia a sinistra che a destra) allora ogni inverso a sinistra è anche inverso a destra e viceversa.

Inoltre tornando alla formulazione qui sopra, si può anche mostrare facilmente che $c=b$, infatti

$c = c*(ab) = (ca)*b = 1*b = b$.

In altre parole, se esiste l'inverso globale, allora ogni inverso a sinistra è uguale all'inverso globale e ogni inverso a destra è uguale all'inverso globale.

[serafinon]

Sì era proprio questo che volevo dire, grazie per aver corretto il mio casino.

[serafinon]

PS:

\( \displaystyle g(x)= \left\{ \begin{array}{l} x/2 \mbox{ se } x \mbox{ è pari} \\ 0 \mbox{ se } x \mbox{ è dispari.} \end{array} \right. \)

Credo ci sia un typo rileggendo mi ero figurato 1/2 mentre c'è scritto x/2.

[Martino]

In che senso? $x//2$ è giusto.