Inversi sinistri (molto sinistri :\) e destri

[serafinon]

sera a voi!

(Assumo che ^t sia "appiccicato" alla matrice più a sinistra. )

C'è una affermazione che mi lascia un po' interdetto riguardo la matrice ortogonale.

Ossia che se $(A^t)A=I$ allora A è ortogonale.

La dimostrazione dovrebbe seguire questi passi, stando al libro:
$A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$.

Il punto che mi lascia parecchio sospettoso è il seguente (valga l'associatività):

quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)

Ora, nel caso matriciale A, non assumo l'esistenza di alcuna inversa, quindi come si fa quel confronto per cui deduco che $(A A^t)=I$? Mi è sinistramente ben poco chiaro!

[Martino]

Ciao, puoi usare il fatto che se una matrice quadrata ammette un'inversa a sinistra, allora ammette un'inversa a destra e l'inversa a sinistra è uguale all'inversa a destra. Sei a conoscenza di queste cose?

[serafinon]

Ciao, grazie per la risposta

a) volevo dividere la domanda in due parti, primariamente volevo capire se le mie elucubrazioni:

quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)

fossero corrette, confermi o smentisci la veridicità di quanto esposto? Almeno metto ordine alle idee.




b) quando dici mi è noto, però quello che volevo dire è che io non so ancora se quella matrice è invertibile no?
Perché mi viene presentata come proprietà prima di dimostrare che $A^t=A^(-1)$. Dice solo per "confronto", però messa così mi pare sbagliato per quanto dicevo nel primo messaggio.

Riporto precisamente le proprietà elencate in ordine "cronologico" del testo:
P1) $A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$. in definitiva $A^tA=I =>A A^t=I$, quindi la proprietà che vuole mostrare è che se $A^tA=I$ ho che A è sicuramente ortogonale (senza dover verificare l'altro "lato").
P2) Dalla $A^tA=A A^t=I$ e definizione di matrice inversa $A A^(-1)=A^(-1)A=I$ si ha che $A^(-1)=A^t$

ma io uso a priori il fatto che esiste l'inversa in P1) per giungere a quel risultato, e messa così non mi pare corretta.


Però se anche invertissi le proprietà ossia dimostrassi prima P2) e poi P1) mi accorgo che P1) messa così è del tutto inutile, poiché se vale P2) ossia $A^(-1)=A^t$, bhe, già so che mi basta controllare un lato ed è del tutto superfluo dimostrare la P1) poiché se la trasposta è l'inversa, l'inversa è unica . insomma comunque la rigiri quella P1) è proprio poco convincente!

[Martino]

confermi o smentisci la veridicità di quanto esposto?

Confermo.

Quanto al resto, concordo sul fatto che la dimostrazione che hai riportato (non so da dove) è scritta male.

Io farei così: supponiamo $A$ quadrata e $A^t A = 1$. In particolare $A$ ha un'inversa a sinistra, quindi ha anche un'inversa a destra (questo è un fatto base di algebra lineare), chiamiamola $B$. In altre parole $AB=1$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $A^t$ otteniamo $A^t A B = A^t$ cioè $B=A^t$.

Questo è per dimostrarti che il punto focale della questione è l'esistenza di $B$, la qual cosa è scollegata dal tema specifico delle matrici ortogonali ed è una cosa di base che dovresti conoscere. Ho paura che l'esercizio non si possa risolvere senza essere a conoscenza dell'esistenza di $B$.

[serafinon]

Ci sono ancora due cose che vorrei capire.

Inizio con la prima, la seconda dopo :
Mi pare che hai detto che se esiste inversa destra allora esiste inversa sinistra. Questo mi sfugge il perché.

Mille grazie!

[Martino]

Vedi qui (le risposte).

[serafinon]

Quante cose che scopro e non so manco dove avrei potuto trovarle, non era nemmeno riportata sul libro quella proprietà, che diceva solamente se esiste inversa sx e dx allora è unica (si beh grazie, fin lì ci arrivavo ).

Devo solo capire come ficcarmi tutte 'ste robe in mente .
Grazie!

PS:

Io farei così: supponiamo $A$ quadrata e $A^t A = 1$. In particolare $A$ ha un'inversa a sinistra, quindi ha anche un'inversa a destra (questo è un fatto base di algebra lineare), chiamiamola $B$. In altre parole $AB=1$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $A^t$ otteniamo $A^t A B = A^t$ cioè $B=A^t$.

Ma ancora più semplicemente non posso dire:
$A^t A = 1$ che coincide con la definizione di inverso sinistro da cui l'inversa sx è A trasposta, qundi $A^t$ è inverso sinistro. Ma sappiamo che esiste anche inverso dx (tuo link). Tuttavia se esistono inversi dx e sx allora sono lo stesso elemento, infine l'inverso è dimostrabile essere unico. Quindi $ A A^-1= A A^t = 1$

[Martino]

Certo ma "dimostrabile" può voler dire che la dimostrazione è lunga 300 pagine. Per questo ho scritto la dimostrazione, per far vedere che è lunga una riga.

[serafinon]

La pigrizia non ha limite .
Comunque chiaro, ti ringrazio di nuovo.

[gugo82]

Scusate, forse ricordo male, ma non è possibile che si ragioni così:

$A A^t = (A^t A)^t = I^t = I$?