Irriducibilità polinomi di secondo grado in $\mathbb{F}_7[x]$

[complesso]

Salve,
per sapere se $x^2-x+3 \in \mathbb{F}_7[x]$ è irriducibile, devo provare tutte le possibili radici o esistono dei metodi più veloci? Questo è soltanto un passaggio di un esercizio e, se risparmio tempo e trovo qualcosa di più pratico, è meglio .

[Martino]

Basta usare la formula solita per risolvere le equazioni di secondo grado.

[complesso]

Ci avevo pensato, ma poi ho anche riflettuto che in $\mathbb{F}_7[x]$, $x^2-x+3=x^2-x-4$. Il discriminante nel membro di sinistra è negativo (nessuna soluzione) e in quello a destra è positivo (2 soluzioni). E' corretto supporre che non importa il segno del discriminante ma importa soltanto che la soluzione sia un numero intero e che quindi appartenga al campo $\mathbb{F}_7$? In questo caso la radice del discriminante non è intera e quindi il polinomio sarebbe irriducibile.
Inoltre, penso che la soluzione in $\mathbb{F}_7$ sia $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2} = -3 (-b \pm \sqrt{b^2-4ac})$ essendo $2^{-1}=-3$.
A questo punto, operativamente, procederei così:
1. la radice quadrata del discriminante è un numero intero?
2. se sì, allora calcolo la radice in $\mathbb{F}$, altrimenti è irriducibile.
Giusto?

[hydro]

Ci avevo pensato, ma poi ho anche riflettuto che in $\mathbb{F}_7[x]$, $x^2-x+3=x^2-x-4$. Il discriminante nel membro di sinistra è negativo (nessuna soluzione) e in quello a destra è positivo (2 soluzioni). E' corretto supporre che non importa il segno del discriminante ma importa soltanto che la soluzione sia un numero intero e che quindi appartenga al campo $\mathbb{F}_7$?

Questo fa male agli occhi. Il concetto di segno non ha nessun senso in $\mathbb F_7$!!!!!!

[Martino]

Ti consiglio di risolvere $x^2=-5$ in $mathbb(F)_7$. Penso che ti chiarirà molti dubbi.

[complesso]

Ti consiglio di risolvere $ x^2=-5 $ in $ mathbb(F)_7 $. Penso che ti chiarirà molti dubbi.

$x= \pm 3 \sqrt{-20} = \pm 3 \sqrt{1} = \pm 3$
L'equazione ha due soluzioni perché \(\displaystyle \Delta \equiv 1 \pmod {7} \). Avrebbe avuto due soluzioni anche se \(\displaystyle \Delta \equiv 2, 4 \pmod {7} \), una sola soluzione se \(\displaystyle \Delta \equiv 0 \pmod {7} \) e non ne avrebbe avute altrimenti.
In pratica calcolo il quadrato di ogni elemento da $0$ a $6$ e vedo che gli elementi possibili sono $0$, $1$, $2$, $4$. Da qui so se esistono o meno soluzioni. E' corretto il procedimento?

[Martino]

Sì. Come vedi non ha senso parlare di numeri "positivi" e "negativi".

[complesso]

Sì. Come vedi non ha senso parlare di numeri "positivi" e "negativi".

Grazie mille Martino, il tuo esempio mi ha dato l'input per chiarire quest'aspetto.