Campo di spezzamento

[francicko]

Sia $F$ un campo , ed $p(x)$ un polinomio irriducibile di grado $n$ a coefficienti in $F$, ha senso domandarsi quale sia il numero minimo di radici da aggiungere al campo base $F$ affinché si raggiunga il campo di spezzamento $E$ di tale polinomio? Esiste una correlazione tra tale numero ed il grado dell'estensione $E//F$?
Ad esempio se il polinomio ha grado $n=2$ sarà sufficiente aggiungere una sola radice al campo base, e quindi l'estensione $E//F$ risulterà essere di grado $2$,
in generale sempre con $p(x)$ di grado $ n$ se indichiamo tale numero con $i$ il grado dell'estensione $E//F$ risulterebbe $n×(n-1)×(n-2)×...×(n-i)$?

[Martino]

La cosa che mi confonde è che la domanda che fai è interessante, questa:

Sia $F$ un campo , ed $p(x)$ un polinomio irriducibile di grado $n$ a coefficienti in $F$, ha senso domandarsi quale sia il numero minimo di radici da aggiungere al campo base $F$ affinché si raggiunga il campo di spezzamento $E$ di tale polinomio? Esiste una correlazione tra tale numero ed il grado dell'estensione $E//F$?

ma poi chiedi una cosa che non riesco nemmeno ad interpretare, questa:

Ad esempio se il polinomio ha grado $n=2$ sarà sufficiente aggiungere una sola radice al campo base, e quindi l'estensione $E//F$ risulterà essere di grado $2$,
in generale sempre con $p(x)$ di grado $ n$ se indichiamo tale numero con $i$ il grado dell'estensione $E//F$ risulterebbe $n×(n-1)×(n-2)×...×(n-i)$?

Per fare un po' di pulizia, vorrei concentrarmi sulla domanda che poni, che è contenuta nel primo dei due box qui sopra. La risposta, in questo caso, coinvolge abbastanza teoria da risultare difficile da capire per chi non sia un po' abituato alla teoria di Galois. Dato un campo di spezzamento $E//F$ di un polinomio irriducibile $P(X) in F[X]$ (supponiamo per semplicità che $F$ abbia caratteristica zero) e chiamato $G$ il suo gruppo di Galois (il gruppo degli automorfismi di $E$ che fissano ogni elemento di $F$), esiste una biiezione canonica tra l'insieme degli intercampi di $E//F$ e l'insieme dei sottogruppi di $G$, chiamata corrispondenza di Galois. Dato $L$ intercampo di $E//F$ possiamo indicare con $L'$ il corrispondente sottogruppo di $G$, si tratta dell'insieme dei $g in G$ che fissano ogni elemento di $L$. Dato $H$ sottogruppo di $G$ possiamo indicare con $H'$ il corrispondente intercampo di $E//F$, si tratta dell'insieme dei $x in E$ che sono fissati da ogni elemento di $H$.

Il gruppo $G$ si può pensare come sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$ (dove $n$ è il grado del polinomio $P(X)$ e l'azione corrispondente di $G$ è sulle radici di $P(X)$) e l'irriducibilità di $P(X)$ si traduce nel fatto che l'azione di $G$ sulle $n$ radici è transitiva, e il campo generato da una delle radici, diciamo $F(a)$, corrisponde al sottogruppo $G_a = {g in G\ :\ g(a)=a}$ di $G$ (lo stabilizzatore di $a$ in $G$). Siccome $G$ è transitivo, gli stabilizzatori sono tra loro tutti coniugati in $G$. Se $A,B$ sono due intercampi di $E//F$, chiamato $C$ il campo generato da $A$ e da $B$, si ha $C' = A' nn B'$ (fissare $C$ corrisponde a fissare $A$ e $B$). Per arrivare appunto alla tua domanda, questo significa che il minor numero di radici che generano il campo di spezzamento è uguale al minor numero di radici di $P(X)$ con la proprietà che, tra gli elementi di $G$, solo l'identità le fissa tutte. Cioè è uguale al minor numero di elementi di un insieme $B$ di radici tale che l'intersezione \( \displaystyle \bigcap_{b \in B} G_b \) è uguale a ${1}$. Ora, questo numero ha un nome, si chiama "base number" di $G$ (la minor cardinalità di una base). Per esempio puoi trovare più informazioni qui.

Per esempio questo articolo mostra che, se $G$ è risolubile e l'azione sulle radici è primitiva, allora il base number è al massimo $4$.