Dimostrazione H sottogruppo di G.

[complesso]

Buongiorno,
ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio: probabilmente sto sbagliando qualcosa perché altrimenti diventa banale.
Sia $G$ un gruppo abeliano. Sia $\sigma : G \rightarrow G$ un omomorfismo con $\sigma^2=\text{Id}_G$.
[...] (Prima parte risolta)
Dimostrare che $H={h \in G | \sigma(h)=h} \leq G$.
La cosa che non mi convince è che usando $\sigma(h) = h$ e $\sigma^2=\text{Id}_G$ dovrei ottenere $\forall h \in H$
$\sigma(\sigma(h)) = \sigma(h)$ perché $\sigma(h) = h$
$\sigma(h) = h$ per lo stesso motivo
$\sigma(\sigma(h)) = \text{Id}_G$ perché $\sigma^2=\text{Id}_G$,
quindi $\text{Id}_G=h$, da cui $H = {\text{Id}_G}$.
Mi potete aiutare per favore a capire il mio errore?

[Martino]

Stai interpretando $Id_G$ come l'elemento neutro del gruppo $G$, quando invece è la funzione identità $G to G$.

Inoltre sarebbe utile che ci dicessi in cosa consiste la prima parte risolta, perché la richiesta dell'esercizio mi sembra molto strana. L'ipotesi $sigma^2 = 1$ mi sembra inutile.

[complesso]

Stai interpretando $ Id_G $ come l'elemento neutro del gruppo $ G $, quando invece è la funzione identità $ G to G $.

Grazie Martino,
hai ragione, errore imbarazzante Quando l'esercizio sembra stupido è perché l'errore è stupido.

Inoltre sarebbe utile che ci dicessi in cosa consiste la prima parte risolta, perché la richiesta dell'esercizio mi sembra molto strana. L'ipotesi $ sigma^2 = 1 $ mi sembra inutile.

La prima parte chiedeva di dimostrare che $\sigma$ è un automorfismo di $G$, e lì si può usare la condizione $\sigma^2=\text{Id}_G \iff \sigma = \sigma^{-1} \implies \sigma$ è un automorfismo.
La terza e la quarta parte ora la riguardo controllando bene di non confondere funzione identità ed elemento neutro.