Anelli positivamente graduati

[Cannelloni]

Buonasera. Studiando da alcune dispense di un corso mi sembra di capire che in generale non è detto che un ideale omogeneo abbia un massimale omogeneo. Sapreste farmi qualche esempio?
Tra l'altro questo fatto diventa vero, sempre secondo le dispense, per anelli positivamente graduati. Confermate? Come si dimostra (se è dimostrabile in breve).

Grazie per l'attenzione, ho perso un sacco di tempo dietro a questo problema negli ultimi giorni

[Martino]

Tieni conto che è difficile rispondere perché potremmo chiamare cose diverse con lo stesso nome. Per aiutarci potresti definire gli oggetti di cui parli. In particolare non mi è chiaro cosa intendi con "massimale omogeneo" e cosa intendi con "positivamente graduato". Inoltre la parola "anello" è ambigua perché a seconda del contesto gli anelli sono automaticamente (oppure no) unitari, associativi, commutativi, eccetera.

[megas_archon]

Martino, ovviamente un anello positivamente graduato è un anello graduato sul monoide \((\mathbb N, +)\), cioè un anello $R$ tale che esista una decomposizione del gruppo abeliano sottostante in una somma diretta \(R\cong\bigoplus_{n=0}^\infty R_n\) di parti omogenee, tali che la moltiplicazione spezzi a una operazione \(\cdot : R_i\times R_j \to R_{i+j}\). Il resto invece non è proprio chiaro

[Cannelloni]

Chiedo scusa per l'ambiguità.
Parlo di anelli commutativi con unità. Un anello è poi graduato se posso scrivere $R=\oplus_{i\in\mathbb{Z}} R_i $. Un anello è poi positivamente graduato se $R_i=0$ per ogni $i<0$. Un ideale omogeneo è un ideale per il quale è possibile scegliere un insieme di generatori omogenei (cioè elementi che stanno in $R_i$ per qualche $i$ con un lieve abuso di notazione). Per il lemma di Zorn esiste sicuramente un ideale omogeneo massimale sopra ogni ideale omogeneo. Quello che mi chiedo è: esiste anche un massimale omogeneo? (ho scambiato le parole). Cioè, sopra un ideale qualsiasi possono stare diversi massimali. La domanda è: non è che magari tra tutti questi massimali ce n'è sempre uno omogeneo? Come dicevo in ipotesi generali sembra di no, ma quando l'anello è positivamente graduato sembra di sì. Nel primo caso vorrei trovare un controesempio, nel secondo una dimostrazione (se fattibile sul forum, s'intende)