da Cannelloni » 15/05/2023, 09:02
Chiedo scusa per l'ambiguità.
Parlo di anelli commutativi con unità. Un anello è poi graduato se posso scrivere $R=\oplus_{i\in\mathbb{Z}} R_i $. Un anello è poi positivamente graduato se $R_i=0$ per ogni $i<0$. Un ideale omogeneo è un ideale per il quale è possibile scegliere un insieme di generatori omogenei (cioè elementi che stanno in $R_i$ per qualche $i$ con un lieve abuso di notazione). Per il lemma di Zorn esiste sicuramente un ideale omogeneo massimale sopra ogni ideale omogeneo. Quello che mi chiedo è: esiste anche un massimale omogeneo? (ho scambiato le parole). Cioè, sopra un ideale qualsiasi possono stare diversi massimali. La domanda è: non è che magari tra tutti questi massimali ce n'è sempre uno omogeneo? Come dicevo in ipotesi generali sembra di no, ma quando l'anello è positivamente graduato sembra di sì. Nel primo caso vorrei trovare un controesempio, nel secondo una dimostrazione (se fattibile sul forum, s'intende)