Domanda su campo di spezzamento

[francicko]

Un campo di spezzamento è un estensione finitamente generata? I generatori di tale estensione sono l'insieme di tutte le radici del polinomio, o puo essere anche un sottoinsieme?

[Martino]

Sì, è finitamente generata, e per generarla in generale non servono tutte le radici, ne basta un sottoinsieme che può benissimo contenere un solo elemento, come sai bene (avendo visto vari esempi di questo tipo).

[francicko]

Quindi ogni sottoestensione di $E//F$ è finitamente generata ed ha come generatori un sottoinsieme di $A$ insieme delle radici, se indico con $A'$ un qualsiasi sottoinsieme delle radici ed impongo la condizione che una qualsiasi radice$x_i$ $in$ $F(A')$, implica che $x_i$ $in$ $A'$, cosa posso dire sulla dimensione di $E//F$?

[Martino]

Quindi ogni sottoestensione di $E//F$ è finitamente generata ed ha come generatori un sottoinsieme di $A$ insieme delle radici,

Questo (qui sopra) è falso, le sottoestensioni non sono necessariamente generate da insiemi di radici.

se indico con $A'$ un qualsiasi sottoinsieme delle radici ed impongo la condizione che una qualsiasi radice$x_i$ $in$ $F(A')$, implica che $x_i$ $in$ $A'$, cosa posso dire sulla dimensione di $E//F$?

Questa domanda non è banalissima, dovrei pensarci un attimo.

[francicko]

Ogni estensione non è necessariamente generata da un insieme di radici , nel senso che esistono sottoestensioni che sono generate da uno o più elementi che non sono radici , ma comunque sono contenute in sottoestensioni generate da radici?

[Martino]

Ogni estensione non è necessariamente generata da un insieme di radici , nel senso che esistono sottoestensioni che sono generate da uno o più elementi che non sono radici , ma comunque sono contenute in sottoestensioni generate da radici?

Non capisco bene la domanda, tutte le sottestensioni di $E//F$ sono contenute in $E$, che è generato da radici. Quindi la risposta a " sono contenute in sottoestensioni generate da radici?" la risposta è (banalmente) sì, perché sono tutte contenute in $E$.

Per capire devi avere degli esempi in mente, un esempio molto chiaro è $P(X)=X^3-2$ (di cui abbiamo già parlato infinite volte). In questo caso se chiami $F=QQ$ e $E$ il campo di spezzamento di $P(X)$ su $F$, abbiamo che $E$ contiene $sqrt(Delta)$ dove $Delta=-108$ è il discriminante di $P(X)$. Ne segue che $QQ(sqrt(Delta)) = QQ(i sqrt(3))$ è una sottoestensione di $E$ e non può essere generata da un insieme di radici perché le radici generano estensioni di grado $3$, quindi qualsiasi insieme di radici genera estensioni di grado almeno $3$, peraltro $QQ(sqrt(Delta))$ è un'estensione di grado $2$.

La mia impressione purtroppo è sempre la solita, che molte delle domande che fai indicano che gli esempi che hai in mente sono tipicamente casi banali (polinomi di grado $2$), per capire meglio cosa succede devi pensare a esempi più complessi, come $X^3-2$ (che ha gruppo di Galois $S_3$), $X^3-3X+1$ (che ha gruppo di Galois $A_3$) e più in generale polinomi del tipo $X^n-2$, per avere un minimo di complessità e per capire cosa può succedere. Se pensi solo ai polinomi di grado $2$ non andrai molto lontano.

[francicko]

Hai ragione!
Sia $A={x_1,x_2,...,x_n}$ l'insieme delle radici del polinomio $p(x)$ di grado $n$, se il più piccolo insieme di generatori del campo di spezzamento $E//F$ coincide con $A$, cosa posso dire sulla la dimensione di $|E:F|$?Sarà la maggiore possibile?$n!$?

[Martino]

se il più piccolo insieme di generatori del campo di spezzamento $E//F$ coincide con $A$

Questo non può succedere, bastano $n-1$ radici per generare $E$, per vederlo basta applicare il teorema di Ruffini un certo numero di volte. La $n$-esima radice si può scrivere in funzione delle precedenti (passando al gruppo di Galois, sto dicendo che se esso fissa $n-1$ radici allora fissa anche la $n$-esima radice, ovviamente).

Quello che potresti invece chiedere è se, assumendo che meno di $n-1$ radici non bastino per generare $E$, valga che $|E:F|=n!$. Anche questo è falso, ma un controesempio minimale [Non è controesempio: vedi sotto] è dato da un polinomio di grado $4$ con gruppo di Galois $D_8$. Se ti interessa te ne posso scrivere uno esplicitamente.

[Martino]

Quello che potresti invece chiedere è se, assumendo che meno di $n-1$ radici non bastino per generare $E$, valga che $|E:F|=n!$. Anche questo è falso, ma un controesempio minimale è dato da un polinomio di grado $4$ con gruppo di Galois $D_8$. Se ti interessa te ne posso scrivere uno esplicitamente.

Pensandoci meglio, quello di $D_8$ non è un controesempio, e credo che sia vero che se meno di $n-1$ radici non bastano per generare $E$ allora $|E:F|=n!$. La dimostrazione che ho in mente non è banalissima (passa per il base number).

[hydro]

Il claim è ovviamente falso sotto queste ipotesi così generiche, basta prendere $x^p-t^p$ su $\mathbb F_p(t^p)$ come controesempio. Tutte le radici sono necessarie per generare il campo di spezzamento, ma il campo di spezzamento ha grado $p$.

Se il polinomio minimo è separabile invece mi pare che basti ragionare per induzione: per $n=2$ il claim è banalmente vero; altrimenti se $f$ è il polinomio minimo di $x_1$ e c'è bisogno di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$ per generare $E$ allora il polinomio minimo di $x_2$ su $F(x_1)$ è $f(x)/(x-x_1)$. Infatti quest'ultimo deve necessariamente essere irriducibile su $F(x_1)$ perchè se non lo fosse, mettiamo ad esempio che $f/(x-x_1)=gh$ con $g,h$ irriducibili su $F(x_1)$, allora chiamate $y_1,\ldots,y_k$ e $z_1,\ldots,z_{n-k-1}$ le radici di $g,h$ rispettivamente si avrebbe che $E$ è generato da $x_1,y_1,\ldots,y_{k-1},z_1,\ldots,z_{n-k-2}$, che è un sottoinsieme stretto di $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$. Ma adesso $f/(x-x_1)$ ha grado $n-1$, e per lo stesso motivo appena utilizzato c'è bisogno di $n-2$ delle sue radici per generare $E$. Segue per ipotesi induttiva che $[E:F(x_1)]=(n-1)!$, e si conclude con la formula dei gradi.