In un anello commutativo (A,+,·) un elemento non nullo a≠0 dell'insieme A è detto divisore dello zero se esiste un b≠0 dell'insieme A tale che ab=0 ∃ a,b∈A , a≠0 , b≠0 | a⋅b=0
Ma notavo una certo legame con la legge di annullamento del prodotto. Tuttavia non lo trovo esplicitamente scritto nel testo e volevo capire se sbaglio a interpretare qualcosa.
Noi sappiamo che la legge di annullamento (del prodotto) dice:
$a*b=0 <=> a=0 or b=0$ (1)
D'altra parte potrei sfruttare la contronominale (p=>q) => (¬q =>¬p) unita a de morgan
$a*b≠0 <=> a≠0 and b≠0$ (2)
Insomma, 1 e 2 esprimono la mesedima cosa.
Ora, se io nego: per ogni a $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
ossia:
non per ogni $a≠0 and b≠0 => a*b≠0$
quindi ho che esiste almeno un caso in cui l'implicazione è falsa, o in altri termini detto esiste almeno un caso in cui l'antecedente è vero ma il conseguente è falso
esiste $a≠0 and b≠0 and a*b=0$
ossia riscrivibile come: esiste a≠0 and b≠0 t.c a*b=0
Quindi se nego una implicazione della legge di annullamento del prodotto ho che ho zero divisori, e anche che se ho zero divisori non vale la legge di annullamento del prodotto. E' corretto?
E' che ho solo una infarinatura liceale (di parecchi anni fa di logica) e non vorrei sbagliare, però mi sembra tornare. Mi è sorto il dubbio in realtà seguendo algebra lineare e non ho ancora affrontato algebra in senso stretto quindi mi scuso per le castronerie dette
