Sottogruppi normali propri di sottogruppi derivati.

[complesso]

Ciao a tutti,
sto cercando di provare che il gruppo derivato $[\text{S}_5, \text{S}_5]$ di $\text{S}_5$ è uguale ad $\text{A}_5$.
Sono riuscito a dimostrare che $[\text{S}_5, \text{S}_5] \subseteq \text{A}_5$, ma mi manca l'inclusione nell'altro verso. Ho letto che se il sottogruppo derivato, che è normale, non è banale, allora posso affermare che $[\text{S}_5, \text{S}_5] = \text{A}_5$. Non riesco però a capire il perché: non possono esistere sottogruppi normali propri?

[Martino]

Dipende, puoi usare il fatto che $A_5$ è un gruppo semplice? Cioè puoi dare questo fatto per conosciuto? Se sì, allora quello che proponi è un facile esercizio.

[complesso]

Grazie Martino,
sono andato a leggermi la dimostrazione per cui $\text{A}_n$ è un gruppo semplice $\forall n \ge 5$. Non ci sarei mai arrivato. Ora lo do come fatto conosciuto