Una domanda sulle definizioni usando la logica

[serafinon]

Ciao,

scrivo qui perché la domanda sorge studiando alcune definizioni in algebra lineare, tuttavia in realtà non è tanto la definizione in sé quanto piuttosto l'uso della logica che vorrei capire e quindi è più inerente a questa sezione del forum. Vediamo se riesco a spiegarmi.

Trovo come definizione di forma bilineare degenere e non degenere le seguenti definizioni su diversi testi:

Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ t.c per ogni $w in W$ si ha f(v,w)=0 (il "si ha" si traduce con => mentre t.c con l' "e" logico), quindi:
una forma bilineare f è degenere se esiste $v in V$, $v!=0$ e per ogni $w in W$ => f(v,w)=0

B) su altri testi trovo la seguente.
f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ tale che ƒ(v, w) = 0, per ogni vettore $w in W$.
Quindi ho che f bilineare degenere se esiste un vettore $v in V$ e ƒ(v, w) = 0, per ogni $w in W$.

C'e una differenza quindi perche da una parte mi sembra usare una "implicazione" nela prima definizione dall'altra un "e", nella seconda. Ma procediamo...

i dubbi si infittiscono quando prendo la definizione seguente

Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ => $v=0$

Provando a negare la definizione C) trovo che:
essite $v in V$ t.c. $f(v,w)=0$ per ogni $w in W$ e $v!=0$

Come atteso questa negazione della definizione di "f non degenere" dovrebbe restituirci proprio la definizione di "f degenere" e notiamo quindi che solo se definita come B) può funzionare che: not C)= B); la A) che contemplava => non funzionerebbe per nulla: not C) ≠ A) (perché la negazione porta a un e, mentre A usa proprio un =>).


Volevo quindi chiedervi, mi potreste aiutare con questi dubbi? Vorrei proprio risolverli per bene per capire come usare la logica proposizionale in tali tipi di definizioni.

[ProPatria]

Provando a negare la definizione C) trovo che:
essite $ v in V $ t.c. $ f(v,w)=0 $ per ogni $ w in W $ e $ v!=0 $

Scritto meglio sarebbe:
esiste $ v!=0 in V$ t.c. $ f(v,w)=0 $ per ogni $ w in W$,
Che è esattamente la definizione di forma bilineare degenere che hai dato in A) (occhio che al punto A hai scritto "non degenere" ma quella è la definizione di degenere)

[serafinon]

Hai ragionissima è una svista. Ho corretto.

Però forse ho espresso male la mia domanda perché il dubbio era capire quali tra A) e B) fosse la corretta definizione, a me quella che tu hai riportato sembra più la versione B) piuttosto che la A) come invece dici.

Vediamo perché dico questo:

Definizione (forma bilineare degenere):
A) una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 e per ogni w∈W => f(v,w)=0
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W

La mi domanda era capire come tradurre (cioè se in A o B) la definizione data a parole dal testo:
"una forma bilineare f è degenere se esiste v∈V, v≠0 t.c per ogni w∈W si ha f(v,w)=0

A e B esprimono solo una diversa traduzione del "si ha": in A) si traduce con => mentre in B) con l' "e" logico.

A me il "si ha" ispirava un "implica", invece mi pare sia un "e" (che equivale al tuo t.c) e non capisco perché.

Che sia "e" è testimoniato inoltre dal fatto che prendendo la definizione di NON degenere

Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0

E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V t.c. f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0
(questo è vero perché in C) avevo "per ogni[...] => [...]" e negarlo vuol dire scrivere "esiste... e[...]")
Che mi sembra proprio la definizione B)

Più chiaro il dubbio?
Grazie!

[ProPatria]

A) una forma bilineare f è non degenere se esiste v∈V, v≠0 e per ogni w∈W => f(v,w)=0

Per prima cosa la definizione è senza "non", di nuovo.
Riguardo quello che chiedi, "e" e "tale che" non sono equivalenti a livello di logica, infatti questa definizione corretta sarebbe:

Una forma bilineare f è degenere se esiste $v∈V, v≠0$ t.c., per ogni $w∈W => f(v,w)=0$

Anzi, essendo precisi al 100%, il "per ogni" è superfluo e sarebbe:

Una forma bilineare f è degenere se esiste $v∈V, v≠0$ t.c. $w∈W => f(v,w)=0$

Ma anche la prima versione, impropriamente, l'ho vista usare dai professori a volte.

Poi ci tenevo a specificare che il "tale che" è un operatore logico, quindi puoi mantenerlo così, e corrisponde in italiano a "con la proprietà che:"

B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W

Questa invece non ha senso minimamente. Tu vorresti dire questo:

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ t.c. $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$.

Che è uguale a quella A ma con la differenza che, in A, supponi $v!=0$ (che è giusto), quindi quella giusta è la A (con le dovute correzioni).

[serafinon]

Porca miseria ho fatto un brutale copia incolla e non mi ero accorto del "non" anche sotto. Ri-ricorreggo. Ma è ovviamente una svista non farci caso il concetto che erravo non era quello .

Ok, la tua osservazione è corretta, però la potrei rendere così ero stato solo impreciso:
B) f bilineare degenere se esiste un vettore v∈V, v≠0 e ƒ(v, w) = 0, per ogni w∈W

Il punto è però che se prendiamo la C)

Definizione (forma bilineare NON degenere):
C) f è non degenere se per ogni v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W => v=0

E provando a negare la definizione C) trovo che:
esiste v∈V e f(v,w)=0 per ogni w∈W e v≠0

e non avrò mai l'implicaizone che ho invece in A). Come aggiusto quindi questa incongruenza nella negazione di C?

Tra l'altro non riesco più a trovarla, ma avevo tradotto "t.c" con "e" e non con "=>" perché un utente abbastanza preparato che bazzica la sezione logica riportava proprio quella traduzione "t.c <=> e".
La cosa inizia a incuriosirmi, ma non so risolverla da solo

[serafinon]

Peraltro non mi ritrovo anche qui:

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$

che hai detto coincidere con

f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$

ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.

[ProPatria]

un utente abbastanza preparato che bazzica la sezione logica riportava proprio quella traduzione "t.c <=> e".

Allora ad essere sincero non saprei se questo è vero, però ti rendi conto che scrivendo:

f bilineare degenere se esiste un vettore $v∈V, v≠0$ e $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$

la definizione non ha senso?

Scriviamolo in proposizioni:
$P$ = esiste un vettore $v∈V, v≠0$
$Q$ = $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$

Quindi:
f è una forma bilineare degenere se $P$ e $Q$.

Che non ha senso!
Perchè chiedi che due proposizioni siano soddisfatte allo stesso tempo, quando la prima è l'esistenza di un vettore non nullo qualsiasi, perchè non specifichi le condizioni, e la seconda è una condizione su una proprietà di v, un vettore che non hai precedentemente definito.

La forma corretta è:
f bilineare degenere se esiste un vettore $v∈V, v≠0$ tale che: $ƒ(v, w) = 0$, per ogni $w∈W$.

[serafinon]

Grazie ancora ovviamente.

1) Ho visto che hai risposto mentre stavo aggiungendo una parte, quello che però non mi torna troppo è questo:

Peraltro non mi ritrovo anche qui:

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$

che hai detto coincidere con

f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$

ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.

2)

Che non ha senso!
Perchè chiedi che due proposizioni siano soddisfatte allo stesso tempo, quando la prima è l'esistenza di un vettore non nullo qualsiasi, perchè non specifichi le condizioni, e la seconda è una condizione su una proprietà di v, un vettore che non hai precedentemente definito.

Devi scusarmi ma non ho capito perché non sarebbe sensato.
A me sembra che dico "ogni vettore v, basta che non nullo" e "se moltiplico quel vettore scalarmente per qualunque altro vettore ho risultato dell'operazione=zero". Quando questo accade ho la definizione che ha valore di verità: vero.
Perché non funzionerebbe?

[ProPatria]

Peraltro non mi ritrovo anche qui:

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$

che hai detto coincidere con

f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$

ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.

No, non "trasformi" il tale che, in questo caso ho modificato la proposizione: $AAw∈W, f(v,w)=0$
In: $w∈W=>f(v,w)=0$
Che è equivalente

A me sembra che dico "ogni vettore v, basta che non nullo" e "se moltiplico quel vettore scalarmente per qualunque altro vettore ho risultato dell'operazione=zero". Quando questo accade ho la definizione che ha valore di verità: vero.
Perché non funzionerebbe?

Il problema è "quel", infatti quando dici che esiste il vettore $vinV$ non nullo non dici che deve soddisfare anche la seconda proprietà, cioè $f(v,w)=0$...
A me non sembra valida come proposizione, ma per essere sicuro è meglio che aspetti qualcuno più bravo di me

[serafinon]

Peraltro non mi ritrovo anche qui:

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$

che hai detto coincidere con

f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$

ma se così fosse dovendo coincidere le due definizioni allora avremmo che il t.c sarebbe un => in tal caso.

No, non "trasformi" il tale che, in questo caso ho modificato la proposizione: $AAw∈W, f(v,w)=0$
In: $w∈W=>f(v,w)=0$
Che è equivalente

No aspetta non ho ben capito

Il punto era, abbiamo detto che ci sono due modi di esprimere la definizione:

f bilineare è degenere se esiste $v∈V,v≠0$ t.c. $w∈W⇒f(v,w)=0$

oppure

f bilineare è degenere se esiste un vettore $v∈V$ $v!=0$ t.c. $f(v,w)=0$, per ogni $w∈W$

(che ho trovato da fonti diverse ed equamente scritte)

Ma se questi due modi devono coincidere non stiamo dicendo che => equivale al tale che?
Infatti scriviamo $v∈V$ $v!=0$, per ogni $w∈W$ (t.c./=>) $f(v,w)=0$