Scusate se entro a gamba tesa con un paio di domande un po' lunghe, tuttavia ho seguito fin dal principio la discussione attendendo lo sviluppo poiché su alcuni di questi discorsi ci ho perso la salubrità mentale giusto nei mesi scorsi. Ho atteso l'esaurirsi delle domande per scrivere e non disturbare l'OP.
Alcune cose sono riuscito a metterle a posto, altre meno, e notando la competenza di @
Martino mi piacerebbe moltissimo poter chiedere alcune informazioni e spunti di riflessione che credo in topic con l'argomento. Sempre se la mia non risultasse una domanda troppo stupida o, peggio ancora, noiosa
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Inizio in questa sezione con la prima domanda:
Il tutto era sorto poiché mi era capitata una dimostrazione di questo tipo: $AAx, (P(x)=>(Q(x) or R(x)))$, nulla di troppo strano.
Con vari passi logici partendo da P ipotesi giungeva a dimostrare che Q è sempre vera, essendo Q sempre vera ed essendoci un "or" nella tesi evidentemente il teorema è vero. Quindi sto a conti fatti dimostrando solo: $AAx, (P(x)=>(Q(x))$
(Altresì si può notare che: un altro modo di scrivere $P⇒(Q∨R)$ è $(P⇒Q)∨(P⇒R)$ e quindi basta dimostrarsi la prima delle due: P=>Q per far si che valga il thm)
In questo mi era sorta una curiosità: ma se io riesco a dimostrare un teorema in questo modo, cioè dimostrando che P implica sempre Q, allora per quanto ne so R(x) potrebbe non verificarsi mai (cioè R(x) potrebbe essere sempre falsa per ogni x, e il teorema funzionare benissimo).
Assumiamo quindi questo particolare caso e che vogliamo dimostrare un asserto: $AAx, (P(x)=>(Q(x) or R(x)))$
con R(x) sempre falsa, dalla tavola di verità sappiamo che
$P=>(Q or R)$ equivale logicamente a $P=>(¬Q=>R)$
(1)Ora, qui ci intravedevo un problema, perché quando assumo di voler dimostrare
$AAx, (P(x)=>(¬Q(x)=>R(x))$, dovrei dimostrare di nuovo che avendo antecedente P vero, allora il conseguente $(¬Q⇒R)$ è sempre vero, ma questo non mi sembrava fattibile dato che l'implicazione $(¬Q⇒R)$ mica è detto sia sempre vera, infatti dato che R è
sempre falsa nel nostro esempio, se avessi $¬Q$ vera sarei belle che fregato! L'unica soluzione pareva essere quella di mostrare che $¬Q$ fosse sempre falsa così da avere (F=>F) che restituiva vero.
E' a questo punto che è giunto in soccorso un utente con cui avevo discusso e mi aveva fatto notare il seguente fatto:
Se $R$ è sempre falsa va da sé che se voglio dimostrare vero $(¬Q(x)⇒R(x))$ questa sarà riscrittura elaborata del semplice $Q(x)$, questo perché io devo mostrare che quando $P(x)$ vera allora $(¬Q(x)⇒R(x))$ è vera, ma $(¬Q(x)⇒R(x))$ è vera solo quando $Q(x)$ è vera, evidentemente.
Praticamente mi sono ridotto a dover dimostrare nuovamente: $AAx, (P(x)=>(Q(x))$, come deve essere data l'equivalenza
(1).
Ho fatto tutta questa lunga introduzione perché leggendo questa discussione mi sorge la domanda, ma allora come dovrei gestire la riformulazione del teorema (che apprendo dal vostro scambio) in $AAx, ((P(x) and ¬Q(x))=>R(x))$, sempre sotto l'idea di
R sempre falsa? Non riesco cioè a vedere, quando riscritta in tal modo, che sto dimostrando la solita $AAx, (P(x)=>(Q(x))$.
[N.B: Mi scuso se ho usato alcune volte P,Q,R snobbando i relativi quantificatori e altre volte il più corretto P(x), Q(x), R(x) ma essendo chiaro dal contesto ho alleggerito la notazione]
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La seconda domanda riguarda un fatto un po' differente, ossia vorrei capire come vedere il funzionamento di un teorema con la tavola di verità dell'implicazione, perché la seconda riga mi crea problemi.
Per fissare le idee assumo il seguente teorema, dimostrabile in un certo senso: "ogni individuo padre è maschio", in formule: per ogni x, A(x) => B(x), con A= x padre e B= x maschio.
Quando io vado a dimostrare, ciò che faccio è che ogni volta che A(x) è vera
mostro la verità di B(x), e come diceva Martino ci interessa poco nulla se A è falso (trascuriamolo quindi); se però se prendo la tabella dell'implicazione avrei:
A....B....A=>B
V....V.......V
V....F.......F
F....V.......V
F....F.......V
E la mia domanda è, ma se io nel processo dimostrativo di solito dimostro che appunto se A vera allora B è vera, non dovrei far sparire la seconda riga? Infatti, quella non esiste più, perché so che se vera A per forza di cose B è vera. Il teorema quindi è una tavola di verità dell'implicazione in cui "elimino" la secodna riga grazie ai processi dimostrativi?
In altre parole: la seconda riga mi è possibile "levarla" proprio per via degli assiomi che agiscono sul mio universo delle x?
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Su questi due dubbi mi avvito da un po' e finora non sono sicuro di sapermi rispondere come funziona. Magari riuscirai tu.
) ma non così tanto da pensare di farlo sempre. Piuttosto sentendomi molto carente ho deciso di giocarci un po' per prenderci la mano, per capire meglio... ma poi abbandonerò questa onerosa strategia. Tuttavia credo almeno una volta nella vita vada un po' capita se, come nel mio caso, non viene naturale di suo 