Un'ultima domanda sulle dimostrazioni

[Martino]

Direi che chiamando $X$ l'insieme in cui vivono gli elementi interessati, se

$S(X)$ = "$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $bRa$)"
(simmetria)

$A(X)$ = "$forall a,b$ [(($a in X$ and $b in X$ and $aRb$ and $bRa$) => $a=b$]"
(antisimmetria)

allora abbiamo che

($S(X)$ and $A(X)$) => [$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $a=b$)]

[matos]

Devvero molto gentile.
Direi che più o meno mi pare di aver capito come vanno le cose e nel n ho altre grandi domande esistenziali .


In ogni caso, mi pare di capire che detto forse malamente, l'errore che facevo è che vanno messi nelle ipotesi anche gli assiomi.

Effettivamente dei tre punti elencati nel mio post prima nel (2 "teorema" padre figlio) non si usano assiomi quindi non c'erano problemi.

L'unico punto che mi rimane un pochino dubbio è che nella (1) ossia per

$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.

in realtà uso a=b (che ho reso con V) come predicato, tuttavia pur non inserendo l'assioma la tavola di verità fa il suo lavoro (cosa che come abbiamo visto non fa nel punto (3) invece).
Non capisco il perché onestamente funzioni in quel caso, secondo te c'è un motivo? (domanda retorica ci sarà sicuramente ma non lo vedo )

[serafinon]

Direi che chiamando $X$ l'insieme in cui vivono gli elementi interessati, se

$S(X)$ = "$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $bRa$)"
(simmetria)

$A(X)$ = "$forall a,b$ [(($a in X$ and $b in X$ and $aRb$ and $bRa$) => $a=b$]"
(antisimmetria)

allora abbiamo che

($S(X)$ and $A(X)$) => [$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $a=b$)]

Ok, non è molto in linguaggio naturale che speravo (cioè a "parole"), intendendo una dimostrazione del tipo (vista a pagina 2):
"supponiamo che valga ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 e prendiamo x tale che ϕ(x,y)=0 per ogni y allora ovviamente esiste y!=0 tale che ϕ(x,y)=0, e applicando l'ipotesi otteniamo x=0. Quindi ϕ è non degenere."
ma lo comprendo

[Martino]

Non capisco il perché onestamente funzioni in quel caso, secondo te c'è un motivo? (domanda retorica ci sarà sicuramente ma non lo vedo )

Scusa, sinceramente non ti seguo più

"supponiamo che valga ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 e prendiamo x tale che ϕ(x,y)=0 per ogni y allora ovviamente esiste y!=0 tale che ϕ(x,y)=0, e applicando l'ipotesi otteniamo x=0. Quindi ϕ è non degenere."

Questa frase va bene, non capisco da dove vengono tutti questi dubbi. Il linguaggio naturale è "impreciso" (confrontato con le tavole di verità e via discorrendo) ma è del tutto adatto a scrivere dimostrazioni.

Cioè se dovessimo scrivere tutti i dettagli di tutte le dimostrazioni, per risolvere l'equazione $2x-2=0$ ci vorrebbero due o tre pagine (come ho detto, nemmeno cose come $a=b$ => $b=a$ sono ovvie, quindi immaginerai che virtualmente non c'è limite alla formalizzazione).

Scusate mi tiro fuori dalla discussione, stiamo andando troppo sul filosofico per i miei gusti. Ciao, buona fortuna!

[matos]

Solo per chiarire perché forse ero stato preso come filosofico, ma volevo solo dire che qui:

$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.

Pur sfruttando a=b non avevo la necessità di inserire effettivamente l'assioma nella tavola di verità per farla tornare, mentre qui $x=y => x⋅y=x^2$ si (pena non ottenere la tautologia). E mi stavo solo chiedendo perché di questa diverso comportamento delle tavole per ottenere tautologia .
Volevo solo chiarire perché forse trainteso, se mai qualcuno passasse e leggesse.


Comunque ti ringrazio sinceramente moltissimo per tutte le spiegazioni date e sicuramente avrò modo di leggere altri tuoi ottimi interventi sul forum!

[serafinon]

Spero potrai perdonare anche me per la poca chiarezza.

Volevo solo dire che dato che dire scrivere: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b)

è ovviamente una resa sbagliata della dimostrazione, cercavo solo un modo per rendere a parole questa: $S(X) and A(X)) => [∀a,b ((a∈X and b∈X and aRb) => a=b)]$ da te scritta , dato che non mi sembrava molto "a parole" messa così. Mi rammarica non essermi fatto capire


Volevo unirmi ai ringraziamenti anche da parte mia, sei stato per quanto mi riguarda fondamentale.
Un carissimo saluto

[sgrisolo]

Il mio dubbio era rendere $AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$ e ottenere la tautologia (cioè la dimostrazione) usando solo le tavole.
Ebbene, sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.

Una breve domanda.
Ma qui si pone P=P(a,b), mentre Q=Q(a), R=R(b), S=S(x,y) e V=V(x), e poi se ne fa una tabella di verità. Ma si può davvero fare questo considerando che sono predicati che dipendono da variabili diverse?

Perché io le ho sempre viste riferite alla stessa variabile, dal basso della mia conoscenza es. P(x)=>Q(x) e fai la tabella dell'omologazione, ma sulla stessa x

Se qualcuno sapesse rispondermi lo ringrazio. Il resto del topic mi pare invece chiaro e ben spiegato da Martino.

[matos]

Premesso¹ che come promesso² non intervengo con altre domande ma lascio spazio ad altri, tuttavia avendo compiuto un errore volevo correggermi.

Spero Martino possa risponderti, se non lo abbiamo esaurito noi , perché io non ne sono in grado, ma credo tu abbia ragione, ho detto una corbelleria (come minimo)!
Intervengo solo per rettificare il mio errore: non viene una tautologia con: ((P => Q or R)and S) => V, scusatemi

Credo l'errore sia quello che dici tu, è una tabella a più variabili nei predicati... ma non ci metterei la mano sul fuego

---

Note

1. :lol: ↑
2. :-D ↑

[sgrisolo]

Ri-ciao,

siccome la mia domanda tra le molte è l'unica rimasta senza risposta , spinto da una discussione volevo porvare a riupparla perché mi interessa molto.

Noi sappiamo che :
$AAa,b,[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)$
si può scrivere per fare la tabella come:
$[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)$
"rinominando opportunamente le parti" come dice Martino

Vorrei solo chiedere una mano sul "come rendere" in tavola di verità:
$AA a,b,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sapendo che: $((P => Q or R)and S) => V$- Sostituendo a phi(a,b)=0 -> P e a=0 ->Q ecc.
E' ovviamente errato.

(link per fare velocemente le tavole): https://web.stanford.edu/class/cs103/to ... able-tool/

Qualcuneo dotato di molta pazienza potrebbe aiutarmi a capire.

[Martino]

Vorrei solo chiedere una mano sul "come rendere" in tavola di verità:
$AA a,b,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$

Secondo me questo non si può rendere in tavola di verità. Le tavole di verità non sono adatte a fare dimostrazioni, servono a verificare che ciascun passo logico delle dimostrazioni è corretto.

Per esempio se so che (*) $P(a) forall a in A$ e poi mi trovo con un $x in A$, devo poter dedurre $P(x)$ semplicemente perché in (*) c'è il quantificatore $forall$.

Purtroppo non ti so dire più di questo, mi sembra che abbia a che vedere col calcolo dei sequenti, argomento però che non ho mai studiato. Siamo arrivati a un punto in cui non sono più così preparato a rispondere come pensate Ciao