complesso ha scritto:Se $G$ finito, allora $H \leq G$ finito. Quindi dato che $g^{-1}Hg = \{ g^{-1} h g \ | \ h \in H \}$, si ha che l'elemento generico $g^{-1}hg \in H$. Facendo scorrere tutti gli $h \in H$ sugli elementi dell'insieme $g^{-1}Hg$, troviamo tutto $H$. Quindi $g^{-1}Hg=H$.
E' corretto?
Non ho capito la dimostrazione. Mi sembra più semplice osservare che se $A,B$ sono insiemi finiti della stessa cardinalità $n$, e $f:A to B$ è una funzione iniettiva, allora $f$ è necessariamente suriettiva poiché la sua immagine $f(A)$ è un sottoinsieme di $B$ di cardinalità $n$. Siccome anche $B$ ha cardinalità $n$, abbiamo che $f(A)=B$. Qui ho usato una proprietà degli insiemi finiti (che non vale per insiemi infiniti) che è la seguente: se $Y$ è un insieme finito e $X$ è un sottoinsieme di $Y$ della stessa cardinalità di $Y$, allora $X=Y$. Questo tipo di proprietà è spesso presa come definizione di insieme finito ("un insieme si dice finito se non possiede sottoinsiemi propri della sua stessa cardinalità") ed è legata al principio dei cassetti o pigeonhole principle (prova a fare una ricerca).
Alla domanda principale non riesco ancora a rispondere.
A me pare che abbiamo risposto. Se la cosa non è ancora chiarita, allora non ho ben capito quale fosse la domanda principale.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.