Bloccato su un esercizio sugli omomorfismi

[jontao]

Determinare tutti gli omomorfismi $\phi: \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 $.

Per il primo teorema di omomorfismo $\frac{|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2|}{|\ker_{\phi}| }= |Im_{\phi}|$

1) $|Im_{\phi}| = 1$
allora $|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2| = |ker_{\phi}|$ quindi $\phi(a,b,c) = [0]
\forall (a,b,c) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

2)$|Im_{\phi}| = 2$
allora $|ker_{\phi}| = 8$... come posso continuare?

[ghira]

Dove vanno (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1)?

[jontao]

Gli elementi (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) generano l'intero gruppo perciò per ogni $(a,b,c) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ $\phi((a,b,c))$ è determinato da dove vengono mandati (1,0,0), (0,1,0) e (0,01).

Le uniche combinazioni funzionanti sono:
1) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [0] \quad \phi((0,0,1)) = [0]$
2) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [0] \quad \phi((0,0,1)) = [1]$
3) $\phi((1,0,0)) = [0] \quad \phi((0,1,0)) = [1] \quad \phi((0,0,1)) = [0]$

Ho capito bene?

[ghira]

Ho capito bene?

Perché dici che (1,0,0) deve andare a 0?

Magari hai ragione: non capisco essenzialmente nulla della teoria dei gruppi ecc. ma mi sembra strano.

[Martino]

Se $A,B,C$ sono tre gruppi, un omomorfismo $f: A xx B to C$ è determinato da

$f_A:A to C$ definita da $f_A(a)=f(a,1)$
$f_B:B to C$ definita da $f_B(b)=f(1,b)$

Infatti $f(a,b)=f_A(a)f_B(b)$

Questo determina una funzione iniettiva

$psi: Hom(A xx B,C) to Hom(A,C) xx Hom(B,C)$
$f mapsto (f_A,f_B)$

Se $C$ è abeliano allora $psi$ è anche suriettiva e quindi è biiettiva.

Ovviamente questo si generalizza a un numero qualsiasi (finito) di fattori. Con questa informazione penso che fai presto a concludere.

[jontao]

Ho capito bene?

Perché dici che (1,0,0) deve andare a 0?

Magari hai ragione: non capisco essenzialmente nulla della teoria dei gruppi ecc. ma mi sembra strano.

Il sottogruppo generato dagli elementi mappati a [0] corrisponde a $ker_{\phi}$, ma utilizzando solo (0,1,0) e (0,0,1) non si può avere un sottogruppo di cardinalità 8 o 16

[ghira]

Il sottogruppo generato dagli elementi mappati a [0] corrisponde a $ker_{\phi}$, ma utilizzando solo (0,1,0) e (0,0,1) non si può avere un sottogruppo di cardinalità 8 o 16

Si vede che non capisco niente.

Non puoi mandare (1,0,0) ad 1 per... quale motivo?

Se mandiamo (1,0,0) a 1 gli altri due dove ti pare, perché non è un omomorfismo?

Ammetto che stiamo parlando di cose che non ho mai capito.

Se (1,*,*) e (3,*,*) vanno a 1 e (0,*,*) e (2,*,*) vanno a 0, perché non sarebbe un omomorfismo?

Mi sembra un omomorfismo, ma è possibilissimo che mi stia sbagliando. Non ho mai capito cosa sia un sottogruppo normale, per esempio.

ghira:gruppi::ritardisti:probabilità

[jontao]

Hai ragione...

[jontao]

Seguendo il suggerimento di Martino:
Ci sono due omomorfismi
$f_{\mathbb{Z_4}}: \mathbb{Z_4} \to \mathbb{Z_2}$ e sono:
1) $f_{\mathbb{Z_4}} (1) \to 0$
2) $f_{\mathbb{Z_4}} (1) \to 1$
E due omomorfismi
$f_{\mathbb{Z_2}}:\mathbb{Z_2} \to \mathbb{Z_2}$
1) $f_{\mathbb{Z_2}}(1) \to 0$
2) $f_{\mathbb{Z_2}}(1) \to 1$

(Essendo ciclici basta considerare il loro generatore).

Facendo il loro prodotto cartesiano ci sono quindi 8 omomorfismi che sono determinati da come scegliamo di mandare (1,0,0) (0,0,1) e (0,1,0) in $\mathbb{Z_2}$