Quante soluzioni hanno una equazione e un sistema nei vari casi?

[pinnaciodepinnacis]

Ciao,

sto cercando di capire se c'è una regola generale per capire il numero di soluzioni di equazioni e sistemi di vario tipo.

Andiamo per gradi:

1) Il caso più semplice di equazioni lineari (che sia a una o più incognite) è che la soluzione è: una, nessuna, infinite. Questo anche per i sistemi lineare se consideriamo una n-upla come "una soluzione" avremo i casi una nessuna infinite.

2) Se passiamo a equazioni di secondo grado ad una incognita avremo per il thm fondamentale dell'algerba n soluzioni complesse (quindi le reali saranno n o inferiori). Infinite ad esempio x^2=x^2 ecc. come sopra.

Fin qui mi pare ok.

3) Il problema lo trovo però per equazioni e sistemi di secondo grado $>=2$ a più incognite ad esempio x*y=4 ne ho infinite, mentre per sistemi di secondo grado a più incognite solitamente ho tante soluzioni quanto è il grado?
Un esempio il sistema di equazioni è di quarto grado $x^2+y^2=37, xy=6$ e ha 4 soluzioni.

a) Ma ci sono casi di sistemi con infinite soluzioni? Per quanto riguarda nessuna credo proprio di si.
b) E ancora le equazioni di secondo grado a più incognite hanno massimo 2 soluzioni e non 3? ad esempio..

Vorrei crearmi mentalmente una tassonomia ma non riesco a capire bene come funzioni.

EDITO (aggiungo alcune considerazioni):
vorrei aggiungere alcune ulteriori considerazioni che purtroppo mi sono accorto tardi di non aver inserito ma attendevano moderazione.

c) quando dico che una equazione di primo grado in una incognita ha infinite o nessuna soluzione intendo che potrei far "rientrarez" in questa categoria le identità 3=3, intendendola come equazione di primo grado e quindi ovviamente con soluzione per ogni x. E le equaazioni impossibili 3=4 (o almento il mio libro del liceo le faceva rientrare).

d) non riesco però a capire se valga qualcosa del genere anche per quelle di secondo grado in una incognita, voglio cioè dire se consideriamo il campo complesso ho per una equazione di secodno grado due soluzioni, ma posso rivedere parimenti 3=4 come equazione di secondo grado impossibile => nessuna soluzione possibile e l'identità 3=3 come una di secondo grado con infinite soluzioni? Mi verrebbe da dire di sì, parimenti a quelle di primo grado in una incognia

e) infine volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto

[Martino]

Ciao, io lascerei perdere la tassonomia generale (magari puoi farla per gradi fissati) e cercherei di pensare geometricamente, facendo un disegno. Nel tuo esempio $x^2+y^2=37$ è una circonferenza, $xy=6$ è un'iperbole e metterli a sistema significa intersecarli. Due coniche non degeneri possono avere fino a 4 intersezioni, se poi sono degeneri ne possono avere infinite. Per esempio il sistema
$xy=0$
$x(y-1)=0$
ha infinite soluzioni. Qui stai intersecando due coniche degeneri.

[pinnaciodepinnacis]

Ciao, ti ringrazio moltissimo per la risposta. E per l'aiuto sull'intuizione geometrica.
Mi è in realtà chiaro quello che dici, tuttavia la mia domanda non era tanto sul caso in esame che era un esempio che era solo per spiegare il dubbio.

Piuttosto mi interessava capire in generale i punti a)-e) del precedente post.
Forse tassonomia non era proprio quello che cercavo ma capire quando ne ho una, piu di una infinite o zero nei vari casi generici.

[Martino]

Non sono sicuro che le tue domande esprimano correttamente i tuoi dubbi, in ogni caso mi limito a rispondere. Se vuoi replicare, per favore rispondi sotto, non modificare il testo dei messaggi precedenti, perché chi ti legge non può sapere se hai aggiunto cose ai messaggi già esistenti. Il forum funziona così, aggiungendo messaggi sotto, non modificando quelli già esistenti. Grazie

a) Ma ci sono casi di sistemi con infinite soluzioni? Per quanto riguarda nessuna credo proprio di si.

Sì, per esempio il sistema dato da $xy=0$, $x(y-1)=0$ ha infinite soluzioni date da $(x,y)=(0,t)$ dove $t$ è un numero qualsiasi.

b) E ancora le equazioni di secondo grado a più incognite hanno massimo 2 soluzioni e non 3? ad esempio..

No, $x^2+y^2=1$ ha infinite soluzioni (tutti i punti di un cerchio).

c) quando dico che una equazione di primo grado in una incognita ha infinite o nessuna soluzione intendo che potrei far "rientrarez" in questa categoria le identità 3=3, intendendola come equazione di primo grado e quindi ovviamente con soluzione per ogni x. E le equaazioni impossibili 3=4 (o almento il mio libro del liceo le faceva rientrare).

Qui non stai chiedendo niente, immagino che sia una premessa al punto (d) che segue.

d) non riesco però a capire se valga qualcosa del genere anche per quelle di secondo grado in una incognita, voglio cioè dire se consideriamo il campo complesso ho per una equazione di secodno grado due soluzioni, ma posso rivedere parimenti 3=4 come equazione di secondo grado impossibile => nessuna soluzione possibile e l'identità 3=3 come una di secondo grado con infinite soluzioni? Mi verrebbe da dire di sì, parimenti a quelle di primo grado in una incognia

Le equazioni "3=3" e "3=4" non sono equazioni di secondo grado. Perché un'equazione sia di secondo grado, deve comparire almeno una variabile elevata al quadrato oppure due (esattamente due) variabili diverse moltiplicate tra loro. Se proprio dovessi dargli un nome, direi che le equazioni "3=3" e "3=4" sono equazioni di grado zero.

e) infine volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto

Beh, per esempio se prendiamo $xy=0$, $x^2+y^2=0$ qui l'unica soluzione è $x=y=0$. E poi se prendiamo il sistema $y=x^2-1$, $y=1-x^2$, esso ha 2 soluzioni, che sono $(x,y) = (1,0),(-1,0)$. Poi se vuoi un sistema con nessuna soluzione, eccolo: $y=x^2+1$, $y=-x^2$.

[pinnaciodepinnacis]

Certo, mi scuso. Il fatto è che purtroppo c'è stata una latenza essendo in attesa di moderazione e quando accettato mi sa che avevi già risposto ma volevo inserirlo già nel primo all'inizio. Insomma, è stato un po' un pasticcio, ma seguirò la cronologia dei post d'ora in avanti (salvo correzione di errori).

Volevo poter fare alcune considerazioni sulle tue gentili risposte. Purtroppo sono un po' arrugginito su queste cose e quindi sto studiando per ri-utilizzarle meglio.

a)
qui volevo chiederti riguardo la soluzione del sistema $xy=0, x(y−1)=0$
Posso dividere lo studio in
I) $y!=0 => x=0/y=0$, tuttavia vale anche il caso y=0 infatti avrei x*y=0*0=0, in definitiva la coppia data da $AAy,x=0$
oppure
II)$x!=0 => y=0$ ... (stesso discorso) $AAx,y=0$

Ora,

I) sostituendo nella seconda equazione ho 0=0, quindi la soluzione è x=0, per ogni y che parametrizzo con t.

II) sostituendo $(AA x,0)$ ho $x=0$ per ogni x, che è falso, quindi il caso II non sussiste.

Rimane come soluzione solo I), volevo chiederti se come ragionamento per giungere alla soluzione da te esposta è corretto.

a) c) d)
Questa è un po' un misto delle 3, nel senso che devo mettere a posto le definizioni perché mi accorgo che non è chiaro, mi spiego:
Dicevo che le equazioni di primo grado a una incognita possono avere una, nessuna, infinite soluzioni e questo perché pensavo a 3=3 o 3=4 come equazioni a una incognita e di primo grado. Tuttavia mi pare di capire che sia errato da quanto dicevi riguardo il loro grado che diresti essere "zero".
A questo punto devo riformulare la mia convinzione, ossia: le equazioni di primo grado a una incognita possono avere solo e soltanto una soluzione?

Domanda bonus:
A meno che: x+3=x+3 la intendiamo di primo grado? e $x^2+3=x^2+3$ di secondo grado? Sono confuso perché ovviamente semplificandosi l'incognita tornerei a 3=3 e quindi sono di grado 1,2 oppure data la semplificazione le considero di grado zero?

b)
qui mi accorgo di aver espresso malissimo la mia idea, in realtà volevo chiederti se le equazioni di II grado a due incognite (e anche più di due) potessero avere solo nessuna, due, infinite soluzioni e non una o quattro, cinque ecc.
Dalla tua risposta e) comprendo che possono avere anche una sola soluzione, ma possono averne cinque? Oppure due? Non mi è molto chiaro.

e)
Anche qui mi accorgo di aver fatto alcuni errori concettuali.
Dalla tua risposta ho capito che

e)volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto

Beh, per esempio se prendiamo $xy=0$, $x^2+y^2=0$ qui l'unica soluzione è $x=y=0$. E poi se prendiamo il sistema $y=x^2-1$, $y=1-x^2$, esso ha 2 soluzioni, che sono $(x,y) = (1,0),(-1,0)$. Poi se vuoi un sistema con nessuna soluzione, eccolo: $y=x^2+1$, $y=-x^2$.

Vorrei ampliare la domanda su quelle di primo grado a due incognite, x+y=3 ad esempio, qui ho infinite soluzioni. Ma posso averne una, nessuna, 5, infinite?

Mentre per quelle di secondo grado a più incognite mi accorgo dalla tua risposta che posso averne una, ma senza scomodare i sistemi rimanendo sulle equazioni posso averne due o cinque o quattro? Infinite direi di sì!

Non riesco cioè a ben capire quali siano quelle consentite e quali no come numero (per i punti b ed e descritti).

Molto gentile.

[Martino]

volevo chiederti se come ragionamento per giungere alla soluzione da te esposta è corretto.

Sì è corretto.

A questo punto devo riformulare la mia convinzione, ossia: le equazioni di primo grado a una incognita possono avere solo e soltanto una soluzione?

Secondo me il problema è che parli di matematica senza usare il formalismo che la rende una scienza esatta. Quando dici "equazioni di primo grado a una incognita", per quanto possa sembrare strano, sei fortemente impreciso. Una possibile formulazione di quello che vuoi dire è "equazioni del tipo $ax+b=0$ nell'incognita (reale) $x$, dove $a,b$ sono numeri reali fissati e $a ne 0$". Tale equazione ha ovviamente una sola soluzione che è $x = -b/a$.

Domanda bonus:
A meno che: x+3=x+3 la intendiamo di primo grado? e $x^2+3=x^2+3$ di secondo grado? Sono confuso perché ovviamente semplificandosi l'incognita tornerei a 3=3 e quindi sono di grado 1,2 oppure data la semplificazione le considero di grado zero?

Basta capirsi: come ti dicevo, se usi il formalismo non hai questo problema. Con la definizione che ti ho scritto sopra (quella con $ax+b=0$) l'equazione $x+3=x+3$ non ha grado 1, perché equivalente a $0=0$, che non è del tipo $ax+b=0$ con $a ne 0$.

qui mi accorgo di aver espresso malissimo la mia idea, in realtà volevo chiederti se le equazioni di II grado a due incognite (e anche più di due) potessero avere solo nessuna, due, infinite soluzioni e non una o quattro, cinque ecc.
Dalla tua risposta e) comprendo che possono avere anche una sola soluzione, ma possono averne cinque? Oppure due? Non mi è molto chiaro.

Devi definire cosa intendi con equazione di secondo grado a due incognite. Scrivi per bene un'equazione generica di secondo grado in due incognite come ho fatto io sopra nel caso di grado 1 e 1 incognita ($ax+b=0$).

Vorrei ampliare la domanda su quelle di primo grado a due incognite, x+y=3 ad esempio, qui ho infinite soluzioni. Ma posso averne una, nessuna, 5, infinite?

Un'equazione di primo grado a due incognite è del tipo $ax+by+c=0$ con $a,b$ entrambi non nulli. Il numero di soluzioni può essere solo infinito, perché graficamente è una retta (sto assumendo che tu stia parlando di soluzioni reali).

Mentre per quelle di secondo grado a più incognite mi accorgo dalla tua risposta che posso averne una, ma senza scomodare i sistemi rimanendo sulle equazioni posso averne due o cinque o quattro? Infinite direi di sì!

Ti ho risposto sopra, definisci con chiarezza cosa intendi con equazione di secondo grado a due incognite perché solo così riusciremo a capirci.

Se per "equazione di secondo grado a due incognite" intendi un'equazione reale del tipo

$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$

con $a,b,c$ non tutti nulli e $a,c,d$ non tutti nulli e $b,c,e$ non tutti nulli, allora quello che hai graficamente è una conica (parabola, ellisse o iperbole), e ti puoi rifare alla teoria delle coniche che dimostra che il numero di soluzioni in questo caso è zero, una oppure infinite. La stessa cosa vale per equazioni di secondo grado in più di 2 incognite, nel cui caso ti rifai alla teoria delle quadriche e delle forme quadratiche.

Come vedi i problemi che poni sono di natura quasi puramente geometrica (geometria algebrica e analitica).

[pinnaciodepinnacis]

Grazie per aiutarmi a capire meglio e soprattutto rendere rigorosi i dubbi e provare a risolverli riguardo cose che ho studiato a livello liceale ormai un po' anni fa e sto riprendendo in mano oggi.
Premetto che sono tutti dubbi che mi sono sorti studiando un testo di algebra lineare universitario, ma subito ho fatto il passo più lungo della gamba e volevo cercare di capire meglio la faccenda su più variabili e ordine.

Detto ciò volevo provare a tirare un po' le fila da quanto da te appreso.

1) Equazioni lineari a una incognita:
sono del tipo ax+b=0, ho una e una sola soluzione $x=-b/a$ (come da te precisato)

(N.B: prima erroneamente includevo in questo "calderone" anche equazioni del tipo 3=4 o 3=3 e per questo dicevo avere anche 0 o infinite soluzioni, ma era errato).

2) Sistemi di una equazione a una incognita:
non ha molto senso parlarne poiché ho solo i casi simili a $ax+b=0, ax+f=0$ che è impossibile, oppure casi come $ax+b=0, ax+b=0$ che ha una soluzione $x=-b/a$.
In pratica ho solo 0 o 1 soluzione/i.

3) Equazioni lineari a 2 o più incognite:
sono del tipo: $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n+a_0=0$; esse sono rette, piani, ... a seconda del numero di incognite.
Ho infinite soluzioni per queste, infatti assumedo anche il più semplice caso con 2 incognite: $a_1x_1+a_2x_2=0$ posso scrivere: $x_1=a_2/a_1x_2$ e $x_2$ è parametrizzabile/libero
oss: non ho quindi mai 0,1,2,...,n soluzioni ma sempre infinite.

4) Sistemi lineari a più incognite:
sono insiemi di equazioni come al punto (3). Questo è terreno dell'algebra lineare e non ci crea grandi problemi: le soluzioni sono $0,1,oo$ (intese come n-uple).

5) equazioni di grado $>=2$ a 1 incognita, sono del tipo $ax^n+bx^(n-1)+...+c=0$ per queste sappiamo dal teorema fondamentale dell'algebra che ha n soluzioni in $CC$, e quindi in $RR$ saranno: n.soluzioni $<=$ n

6) Sistemi con equazioni del punto 5) potranno avere $0$ soluzioni, oppure $n$ o $m<=n$ a seconda dei casi poiché alcune soluzioni potrebbero coincidere mettendo a sistema equazioni diverse ecc

7) Equazioni di secondo grado a due incognite:
sono del tipo $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$ (sono ellissi, parabole, circonferenze) ed essi hanno 1 o infinite soluzioni
esempio:
- $x^2=7-y^2$ e parametrizzo y "libero" $oo$ soluzioni.
- circonferenza ha infinite soluzioni e circonferenza ridotta a un punto 1.

8) Sistemi di equazioni al punto 7:
Abbiamo fatto alcuni esempi:
- $x^2+y^2=37, xy=6$ ha 4 soluzioni
- possiamo anche avere nessuna soluzione: $y=x^2+1, y=−x^2$
- oppure infinite con $xy=0, x(y-1)=0$
- due: $y=x^2-1, y=1-x^2$

Da qui mi chiedo: ma quante possono essere? $1,2,....n=oo$ oppure c'è un massimo m, $m<n$ e poi "balzo" a infinite soluzioni? Indendo cioè dire c'è un limite al numero di soluzioni discrete ottenibili e poi balzo a infinite? Non ho ben capito come dedurlo in tal caso.

Se hai un sistema di 2 equazioni di grado 2 e 2 incognite, puoi avere 1,2,3,4 oppure infinite soluzioni (prova a fare un esempio per ciascuno di questi casi). Questo non è proprio immediato da vedere ma è vero.

9) (Qui iniziano i dolori) Equazioni di grado $>=2$ a più incognite:
Direi che sono del tipo: $a_nx^n+a_(n-a)x^(n-1)+...+c_1+b_ny^n+b_(n-a)y^(n-1)+...+c_2+d_nz^n+d_(n-a)z^(n-1)+...+c_3+.....$ (piu relativi prodotti tra gradi differenti)
Qui credo sia impossibile dare le possibili soluzioni ottenibili, mi sembra molto variegato e complesso.

Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.

PS: ho quotato le risposte date sotto dal gentilissimo Martino solo per avere uno schema completo in questo messaggio, che mi salverò tra i preferiti e così se mai mi servisse potrò consultarlo a colpo d'occhio

[Martino]

Da qui mi chiedo: ma quante possono essere? $1,2,....n=oo$ oppure c'è un massimo m, $m<n$ e poi "balzo" a infinite soluzioni? Indendo cioè dire c'è un limite al numero di soluzioni discrete ottenibili e poi balzo a infinite? Non ho ben capito come dedurlo in tal caso.

Se hai un sistema di 2 equazioni di grado 2 e 2 incognite, puoi avere 1,2,3,4 oppure infinite soluzioni (prova a fare un esempio per ciascuno di questi casi). Questo non è proprio immediato da vedere ma è vero.

(Qui iniziano i dolori) Equazioni di grado $>=2$ a più incognite:
Direi che sono del tipo: $a_nx^n+a_(n-a)x^(n-1)+...+c_1+b_ny^n+b_(n-a)y^(n-1)+...+c_2+d_nz^n+d_(n-a)z^(n-1)+...+c_3+.....$ (piu relativi prodotti tra gradi differenti)
Qui credo sia impossibile dare le possibili soluzioni ottenibili, mi sembra molto variegato e complesso.

Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.

[pinnaciodepinnacis]

Buondì a te,
sono contento che non mi hai corretto su altri dei 9 punti scritti, quindi lo interpreto come non "aver fatto errori degni di nota" e questo mi rende felice perché vuol dire che finalmente ho formalizzato e capito meglio.

Sui tuoi due appunti invece ci stavo riflettendo proprio ieri prima di coricarmi ma ero troppo stanco per riconnettermi al forum.
Sugli esempi che consigli di fare è verissimo, anche perché sono ellissi parabole e circonferenze che si intersecano e alla fine posso farlo al massimo in 4 modi (per soluzioni finite). Oppure infinite se congruenti del tutto o per certi valori (curve che si sovrappongono).
E infatti 4 è anche il prodotto dei gradi.
La "doppia" risposta che averi dato era questa e spero sia giusta

Mentre diciamo che qualcosa di analogo mi aspetterei per:

Credo che se hai un sistema di n equazioni di gradi d1,...,dn e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo d1...dn (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.

Un po' come prima era il prodotto di gradi che dava 4 anche qua concluderei la "congettura" così. Ma farò delle ricerche come consigli!

Spero ora sia tutto giusto??
Buona giornata

(EDITO: piccolo errore corretto)

[hydro]

(Qui iniziano i dolori) Equazioni di grado $>=2$ a più incognite:
Direi che sono del tipo: $a_nx^n+a_(n-a)x^(n-1)+...+c_1+b_ny^n+b_(n-a)y^(n-1)+...+c_2+d_nz^n+d_(n-a)z^(n-1)+...+c_3+.....$ (piu relativi prodotti tra gradi differenti)
Qui credo sia impossibile dare le possibili soluzioni ottenibili, mi sembra molto variegato e complesso.

Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.

Certo che è vero, è il teorema di Bézout. Occhio che un sistema di più equazioni a più incognite non ha necessariamente quella forma perchè le variabili non devono essere per forza separate. Puoi avere anche cose del tipo $x^3yz+x^2z+1+y^2=0$.

Trovare le soluzioni è facile in teoria perchè esiste un algoritmo, ovvero calcolarsi una base di Groebner. Penso che nella pratica però sia complicato nel senso che è un algoritmo la cui velocità decresce molto in fretta con il grado totale del sistema.

I sistemi di primo grado ovviamente sono tutta un'altra storia, quella è solo algebra lineare e risolverli è semplicissimo.

Ad ogni modo questo tipo di domande pertiene al campo della geometria algebrica; come dice Martino le equazioni vanno interpretate come equazioni di certi sottoinsiemi speciali dello spazio affine chiamati varietà algebriche.