Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene

[pinnaciodepinnacis]

Ciao di nuovo.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.

Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.

Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.

Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.

Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.

[ghira]

Io ho due equazioni chiamiamole A e B,

Non puoi dirci quali?

[ghira]

Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.

Le cose prima e dopo "in sostanza" non sono uguali.

[pinnaciodepinnacis]

Ciao

In realtà non c'è una equazione precisa, ma semplicemente è la dimostrazione per:
dimostrare che moltiplicando una riga non nulla di un sistema lineare per un termine non nullo si ottiene un sistema equivalente.

Potrei riformulare quindi la domanda così:

Io ho due equazioni chiamiamole A e B, con $ B= lambdaA, lambda!=0$, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.

Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (solo per non scrivere n-uple, non cambia nulla) (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.

Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.

Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non garantisce che B abbia le stesse soluzioni di A, B potrebbe averne di più, e una sua parte sono soluzioni di A.
Quando passo poi a dimostrare 2-, io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude, come poc'anzi detto) e dimostro che sono anche soluzioni di A (ho dimostrato "<="). ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-, dato che come detto B poteva averne più di A nessuno lo vietava (e io ho preso tutte quelle di B per dimostrare l'implicazione inversa).
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.

[otta96]

Come dici tu, 1) dimostra che il numero di soluzioni di $A$ è minore o uguale a quello delle soluzioni di $B$, ma poi 2) dimostra che il numero di soluzioni di $B$ è minore o uguale a quello delle soluzioni di $A$. Quindi cosa puoi concludere su questi 2 numeri (possono anche essere infiniti, e il risultato continua a valere se formulato correttamente)?

[Martino]

Devi usare la definizione di uguaglianza tra insiemi: due insiemi $A,B$ si dicono uguali se valgono le seguenti due condizioni.

1. Ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$.
2. Ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.

Osserva che questa è proprio una definizione, non va dimostrata.

[ghira]

Io ho due equazioni chiamiamole A e B, con $ B= lambdaA, lambda!=0$, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
.

Non sono la stessa cosa. Dal resto del messaggio stai facendo la seconda cosa, non la prima.

[pinnaciodepinnacis]

Vi ringrazio tanto davvero a tutti per le risposte e vedrò di capire tutti perché voglio allenarmi il più possibile a ragionare in modo giusto e se posso apprendere da voi molto meglio!

Come dici tu, 1) dimostra che il numero di soluzioni di A è minore o uguale a quello delle soluzioni di B, ma poi 2) dimostra che il numero di soluzioni di B è minore o uguale a quello delle soluzioni di A. Quindi cosa puoi concludere su questi 2 numeri (possono anche essere infiniti, e il risultato continua a valere se formulato correttamente)?

Questa è una cosa a cui ho pensato ma non ero sicuro fosse giusto il mio modo di procedere. In soldoni avrei detto che 1) mi dice che (# numero) $#A<=#B$ e poi 2) dimostra $#B<=#A$ => in definitiva $#B=#A$.
Questa cosa non capivo se fosse giusta per il fatto poi detto da Martino

1. Ogni elemento di A è anche elemento di B.
2. Ogni elemento di B è anche elemento di A.

Non riesco cioè a capire quale delle due visioni sia "giusta" e mi fa piacere che siano anche state da voi proposte perché erano proprio le due cose a cui avevo pensato oggi.
Da una parte mi pare di poter fare considerazioni numeriche (tipo otta) dall'altro insiemistiche e la cosidetta inclusione doppia che è l'uguaglianza tra due insiemi (come diceva martino).
Mi sembrava più corretta quella insiemistica, da profano, tuttavia il libro non ne parlava e parlava solo di prendere una soluzione (x0,y0) per A e mostrare che è anche soluzione per B e viceversa (che è più simile alla visione espressa da otta) e questa cosa mi lascia un poco confuso perché non capisco bene se siano due modi di vedere la stessa cosa o meno.

Procedendo con

Non sono la stessa cosa. Dal resto del messaggio stai facendo la seconda cosa, non la prima.

Ecco, questo mi rimane molto più criptico, perché non ho ben capito cosa mi stai rimproverando

Vi ringrazio.

[Martino]

Non si può ragionare sul "numero" di soluzioni perché possono essere infinite, e un insieme infinito può essere propriamente contenuto in un altro insieme infinito. Bisogna usare la definizione di uguaglianza tra insiemi.

[ghira]

Ecco, questo mi rimane molto più criptico, perché non ho ben capito cosa mi stai rimproverando

Non ti sto rimproverando. Cominci dicendo che vuoi dimostrare che A implica B, poi cominci a parlare anche di B implica A.

Più che "in sostanza" forse dovresti dire "anzi".