Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene

[Martino]

Ok, ho capito meglio il tuo dubbio, ma continuo a non capire bene perché tu ce l'abbia. Il corrispettivo di $(x,x) in E$ è $(x,x+1) in T$ e viceversa, non ci sono elementi scoperti.

La funzione $E to T$ che manda $(x,x)$ in $(x,x+1)$ è biiettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca. La sua inversa è la funzione $T to E$ che manda $(x,x+1)$ in $(x,x)$.

Cioè tu vai in crisi perché "potrebbero esserci elementi scoperti" ma se analizzi con calma vedi che non ce ne sono di elementi scoperti.

[panausen]

Mi rendo conto che forse mettere tutto in un disegno non sia una buona idea, quello che volevo dire era questo:
nella prima parte dimostro che ogni elemento di T è legato a un elemento di E, ma puo esserci un elemento di E (in blu) non legato a nessun elemento di T.
A questo punto passo alla secodna parte della dimostrazione e mostro che ogni elemento di E, quindi anche quello blu, ha un elemento corrispettivo in T (l'altra inclusione). M potrei avere un elemento in T (quello a matita) che non è legato da nessuna linea (ossia nessun (x0,y0) a un elemento di E. Assurdo

[panausen]

Ho visto che nel frattempo mi hai gia gentilmente risposto. Avevo introdotto qui sopra (messaggio prima di questo) una figura forse più furba penso mentre stavi scrivendo.

La funzione $E to T$ che manda $(x,x)$ in $(x,x+1)$ è biiettiva

esattissimo, infatti vedendola lì lo vedo bene. Ma faccio a cazzotti con l'idea quando poi quando penso agli insiemi e a un elemento di T implica che vi è un elemento in E e viceversa un elemento di E implica che ho l'elemento t in T ossi aquando guardo la dimostrazione in senso generale e spezzettandola in "due parti" vado in estrema crisi, perché mi sembra di finire in un assurdo (quello del pallino a matita). E non capisco dove diavolo sbaglio e ne esco pazzo . Perché da una parte mi torna (è biiettiva) ma dall'altra scazzotto col fatto che non mi torna vedendola in due pezzi. E non può essere, deve tornare!

[Martino]

Ma scusa, "può esserci" non vuol dire "c'è". O c'è o non c'è, e i fatti mostrano che non c'è. Quindi l'assurdo non sussiste.

È come se io dicessi che le sirene non esistono (come ben sappiamo), poi metti che vado a perlustrare tutto l'oceano atlantico e non trovo nessuna sirena. Poi però dico "potrebbero però esserci sirene nell'oceano pacifico. Assurdo, perché sappiamo che le sirene non esistono".

Ti giuro che non ti seguo.

[panausen]

Probabilmete sono solo rincretinito .
Ma in sostanza il fatto che quel pallino a matita non ci sia (come dici tu può esserci o non esserci nel secondo disegno) non capisco cosa mi garantisca non ci sia. E' il fatto che nella prima parte (cioè primo disegno e prima parte della dimostrazione) ho invece dimostrato che ogni T ha un "corrispettivo" in E? (e quindi non può sussistere alcun pallino non collegato a un E). Cioè, quello che voglio dire è che non capisco cosa me ne escluda la presenza.

[Martino]

Scusa, mi arrendo. Ti giuro che non capisco. Buona fortuna

[panausen]

Ahaha ok, grazie comunque per l'aiuto.

In ogni caso, il fatto è che volevo solo capire la tua affermazione:

Ma scusa, "può esserci" non vuol dire "c'è". O c'è o non c'è, e i fatti mostrano che non c'è. Quindi l'assurdo non sussiste.

E stavo solamente chiedendo, nella dimostrazione generale (non nel particolare esempio delle rette!), quale passaggio mostrasse che quel pallino non c'è. Io non l'ho proprio capito .
- Da una parte dico tutti gli elementi di T posso legarli tramite una operazione con X0 a un elemento di E (ma E potrebbe avere elementi in più non collegati da alcuna x0 a elementi di T)
- Dall'altra dico tutti gli elementi di E posso legarli tramite un valore x0 a un elemento di T (ma ammetto che T potrebbe avere anche elementi che non sono legati ad alcune elemento di E)
Io chiedevo solo cosa mi garantisse in questo secodno punto della dimostrazione che un tale elemento di T (non legato a elementi di E) non esiste

[Martino]

Prendiamo un $t in T$ qualsiasi. Sia $u=t-x_0$. Allora $u in E$ e $t=u+x_0$, quindi $t$ è collegato a $u$. Questo dimostra che ogni elemento di $T$ è collegato a un elemento di $E$. Quindi non esistono elementi di $T$ scoperti.

Ma la mia frustrazione viene dal fatto che ti sto ripetendo sempre la stessa cosa e tu rispondi sempre "ok ma chi mi garantisce che non esistano elementi scoperti?". Sembra che tu non legga le mie risposte.

[panausen]

Allora forse mi sono solo spiegato male. In realtà questo fatto l'ho ben capito e sono convinto non ci siano elementi scoperti in T, ma è poi con la seconda parte della DIM che mi pare che ammetto ci siano e mi sembrava assurdo. E volevo capire dove risiedesse la fallacia del ragionamento da me riportato.

Prendiamo un $t in T$ qualsiasi. Sia $u=t-x_0$. Allora $u in E$ e $t=u+x_0$, quindi $t$ è collegato a $u$. Questo dimostra che ogni elemento di $T$ è collegato a un elemento di $E$. Quindi non esistono elementi di $T$ scoperti.

E' incontrovertibile sia così, e questa parte dimostra che per ogni elemento di T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento u di E scoperto.

E' a questo punto che prendo un $u$ qualsiasi in $E$ e faccio il ragionamento opposto e trovo che ogni elemento di $E$ ha un rispettivo elemento in $T$

Però mi imbroglio quando vado a unire le due conclusioni perche dico: ho dimostrato che per ogni T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento di E scoperto. Poi dimostro che ogni elemento di E ha un corrispettivo in T ma può sussistere(**) un elemento in T scoperto.
Tuttavia all'inizio ho detto che non ci sono elementi in T scoperti e questo mi sembra cozzare con quanto ho appena concluso che ci possono essere (**) T scoperti.

Mi sembrava un cane che si morde la coda

Quello che chiedevo era quindi se, potendoci essere per la seconda parte della dimostrazione elementi di T scoperti, questi in realtà sono garantiti della loro non esistenza per via della prima parte della dimostrazione. Cioè per la parte nel quote.

Probabilmente la domanda appare talemtne scema che non la compendi nemmeno come dubbio ma la mia domanda era solo per capire come funzionava la dimostrazione di questo tipo, non essendo particolarmente avvezzo ad alcun tipo di ragionamento logico dimostrativo (purtroppo vengo da una scuola dove matematica era molto poco svolta) e volendo migliorarmi.

[Martino]

Dai la definizione esatta di "elemento scoperto". La definizione matematica. Occhio, dev'essere una definizione ineccepibile e inequivocabile.