Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene

[panausen]

Ci provo, almeno.
Nella mia testa è: esiste un t di T tale che non esiste u di E per cui t=x0+u

[Martino]

Benissimo. Ti ho dimostrato nel post precedente che questo $t$ scoperto non esiste. Questo è un fatto vero, non puoi tornare a pensare che potrebbe non essere vero se è vero. È vero e basta.

[panausen]

Forse e dico forse ho capito.

1) Io nella prima parte dimostro che per ogni t di T esiste un u di E tale che $t=x_0+u$ (**)
(ma questo non garantisce che possa esistere un u di E tale che non esista un t di T per cui t=x0+u)

2) nella seconda dimostro che per ogni u di E esiste un t di T tale che $t=x_0+u$ e io dico ma questo vuol dire che può esserci un t di T tale che non esiste $u$ di $E$ per cui $t=x_0+u$ e questo mi sembrava un assurdo avendo prima detto che (**).

Forse l'errore sta nel fatto che interpreto male la conclusione: questo non è un assurdo, bensì mi dice solo che tale t che per la 2) potrebbe esistere non esiste per la 1) poiché ho già dimostrato che tutti i t hanno un corrispettivo u.
Non so perché mi pareva un assurdo, ma in realtà è solo una possibilità che non si realizza.

[Martino]

"Potrebbe esserci" non vuol dire "c'è". Invece di "potrebbe esserci" formulalo come domanda: "c'è?". Risposta: no, non c'è, a causa di (**).

[panausen]

Esatto io vedevo la possibilità di esserci/esistere di quell'elemento che era compendiato dalla 2), come una contrapposizione alla 1)(**), invece proprio la (**) garantisce che non c'è alcun elemento scoperto e quindi quel "potrebbe esserci" che nasce dalla 2) non si realizza. Punto e basta. C'è un tale elemento scoperto che è anche possibile che esista per la 2)? NO!! per via della 1)

Guarda mi ero incastrato sul senso di questa cosa per ore e ore stavo impazzendo ma vista così mi rendo conto di esser stato un cretino , è un "potrebbe" e io lo leggevo essendoci mi smentisce la (**). Non so perché!

Mi sembra che ora non sto più dicendo stupidaggini, no?
Spero, perché ora mi sembra di aver capito. Sarebbe molto bello!!


Ma invece sull'altro dubbio che era passato in secondo piano (sempre se avrai voglia e lo metto in spoiler)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Anche qui temo di far dei pasticci con le parole e il senso matematico vero.

Riprendendo il teorema come enunciato dal libro:

Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.

La dimostrazione che mi hai insegnato tu dice che:
Per un fissato $(x_0,y_0)=(0,1)$ posso trovare tutti gli elementi di $T$ assumendo distinti elementi di $E$, e in particolare anche selezionando ogni elemento di $E$ sommando $(0,1)$ trovo uno alla volta tutti gli elementi di T.
Variando $(x_0,y_0)$ di ripete un discorso analogo. Questo è quanto dimostrato e mi sembra chiaro.

Però questo non mi sembra essere quanto afferma il testo (quindi se vogliamo il mio problema è comprendere il testo alla luce di quanto dimostrato). Infatti io lo interpreto così quanto nel quote: [intendendo generica come qualunque/ogni] Ogni elemento di T (cioè t nel testo) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare qualsiasi (x0,y0) (cioè x0), una generica E.
Riassumendo: ogni elemento di T è raggiunto da ogni elemento di E tramite un qualche $(x_0,y_0)$ che posso far variare (e viceversa ogni elemento di E è raggiunto da un T tramite $(x_0,y_0)$). Quindi quanto dimostrato l'ho ormai ben saldo secondo me, ma non lo riesco legare a questo testo che mi sembra dire quanto ho scritto ora.

[Martino]

Sì esatto, in matematica ogni affermazione è vera oppure falsa (a meno di casi ai limiti della logica che riguardano la completezza), ogni volta che non sai se qualcosa esiste domandati se esiste e poi dimostra che esiste, oppure dimostra che non esiste.

Quanto all'altro dubbio, stai interpretando male il testo. Dice che ogni soluzione del sistema è ottenuta aggiungendo $x_0$ a una soluzione dell'omogeneo. $x_0$ non varia. È questo che sta dicendo, ed è una sofferenza inutile chiedersi se forse sta dicendo un'altra cosa per poi provare a dimostrarla (passandoci sopra giorni inutilmente) perché non è così, sta dicendo quello e basta.

[panausen]

Direi che ho capito tutto riguardo a questa faccenda ora
Probabilmente è quel qualsiasi x0 che mi mette in crisi. Comunque lo chiedevo non perché volessi dire che è così e volessi dimostrare questa "lettura", più che altro perché se in futuro trovassi teoremi esposti in modo simile saprei come agire per dimostrarlo. Infatti assunto quel testo avrei iniziato a dimostrare tutt'altra cosa (ed è questo a spaventarmi), proprio in virtù del fatto che intendevo come x0 "mobile".

Ti ringrazio tanto per avermi insegnato molte cose. Sei stato estremamente gentile anche se ho rischiato di spazientirti con la mia idiozia . Davvero, grazie!

[Martino]

Prego!

[ganxi]

Salve di nuovo Martino, spero non sia considerato necroposting, e nemmeno stalking , ma stavo curiosando sulla tua cronologia risposte. A parte che sono migliaia e non finirò mai, altre non capisco niente perché sono di una complessità che non ho ancora raggiunto e forse mai raggiungerò. Ma su molte ho trovato idee su cui ragionare.

Mi interessava chiedere riguardo questa idea di dimostrazione che è quella che con poche variazioni ho visto con il mio Professore, però non di algebra1 ma di algebra lineare:

Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).

Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.

Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.

Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.

Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.

Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$.

E mi stavo divertendo ad applicare quello di cui abbiamo parlato ieri ossia dimostrazioni di esiste unico. Mi chiedevo se riformulare così il testo del teorema potesse avere un senso:

Abbiamo il sistema $At=b$(*) (e $Au=0$), e io dico: esiste unca di soluzione t (che poi dimostrerò essere: $t=x_0+u$) per il sistema (*).
In questo caso l'unicità è però da intendersi come insieme di soluzioni t ossia quello che in realtà vogliio fare è dimostrare che la t che "esiste unica" è niente popo di meno che scritta come: $t=x_0+u$ per t e u differenti negli insiemi da te descritti. L'unicità è quindi nella "forma" della scrittura. (non so bene come formalizzare questo concetto ma spero sia chiaro che non è una sola t ma un insieme di t)

per lo svolgimento:
1] UNICITA': Assumiamo $S$ insieme di u che risolvono $Au=0$ e supponiamo $t$ soluzione $At=b$, a questo punto è facile mostrare che esiste un $u in S$ tale che $t=x_0+u$ da cui $Au=A(t-x_0)=At-Ax_0=b-b=0$ (usando $u=t-x_0)$. Questo ci dice che se $t$ è soluzione sarà unicamente del tipo $t=x_0+u$ con u in S, quando appunto risolve At=b. A tutti gli effetti E' una unicità.

2] ESISTENZA: ci è sempre possibile prendere $t=x_0+u$ per un qualsiasi $u in S$, basta ora sostituire in $A(x_0+u)$ e ottenere $A(x_0+u)=b$. Fatto!

La cosa interessante è che quando mostro l'esistenza posso prendere una u qualunque (e questo risolve il problema di cui discutevate in queste pagine) perché assunta qualunque u per il punto [2] mostrando che è soluzione trovo che è unicamente della "forma" $t=x_0+u$ proprio per il punto [1] (come ieri detto nell'altra discussione).

Mi sembra filare, ma non capisco se sono in errore o no. Voi/tu che ne pensate/pensi?
Quando imparo qualcosa mi piace cercare di riadattarla un po' in varie situazioni e qui mi sembra andare ma non vorrei aver preso un granchio.

[Martino]

Sì va bene, ma hai sostanzialmente ripetuto quanto scritto nel quote.