Definizione inclusione insiemistica

[panausen]

Buongiorno alla sezione

Oggi ho inserito alcune domande che mi portavo dietro da un po' di giorni dallo studio e tra le altre vorrei cercare di comprendere anche un ultimo dubbio riguardo la definizione di inclusione (sottoinsieme) perché non mi è chiaro l'utilizzo di =>.

diciamo A sottoinsieme di B o A incluso in B se $x in A => x in B$

Il mio dubbio nasce perché la tavola dell'implicaizone logica è quella nota a tutti. Ma come questa definizione di inclusione usi l'implicazione non mi è molto chiaro:

Immagino per esempio due insiemi graficamente con A dentro B (B cerchio grande contenente A cerchio più piccolo):
- quando selgo un elemento non in A (puntino fuori dal cerchietto con cui stilizzo A) ho che antecedente è falso quindi conseguente puo essere sia falso che vero (in altre parole il puntino è dentro o fuori B non ci importa) che è sempre vera l'implicazione. Tutto bene implicazione vera.
- passo a considerare un punto dentro A e noto che è sempre dentro B, quindi l'implicazione è vera A vero B vero
- tuttavia la tavola dell'implicazione ha anche un valore A vero e B falso (implicazione falsa) e questa con questo disegno di cui parlavo non si verifica mai.

Non capisco quindi come sfruttare la tavola, di fatto l'implicazione ha un valore falso che dorei pur considerare, ma $x in A => x in B$ nel nostro esempio è sempre vera. Devo quindi immaginare che non sussiste mai la riga "A" falsa "B" vera "=>" falsa della tavola?
Non mi è molto chiaro come ragionare.

[otta96]

Se prendi un esempio in cui $A\subseteqB$, è normale che poi non si può realizzare una cosa che rende falsa l'implicazione, cioè che esista un elemento di $A$ che non sia in $B$.

[Quinzio]

Ok, ti stai perdendo in un piccolissimo bicchiere d'acqua.
E' ovvio che nello schema dell'inclusione tu riesca a trovare una condizione che sia falsa nella tabella di verita' dell'implicazione: altrimenti l'implicazione stessa sarebbe falsa.
Ripeto: e' ovvio che sia cosi', deve essere cosi'.
Quel valore FALSO nella tabella di verita' e' da leggere come "non esiste", "e' impossibile da verificarsi".
Mentre le righe VERE sono da leggersi come "possibile che esista".
Prova a pensarci, cos'altro potrebbe voler dire quella riga dove l'implicazione e' falsa ?
Vediamo un esempio piu' pratico. La pioggia implica che ci sia almeno una nuvola in cielo.
Quindi $"piove " \implies " nuvola"$.
Ora seguendo l'esempio che hai fatto, inizi a girare il mondo cercando contemporaneamente le condizioni "piove" e "non ci sono nuvole", che e' la riga falsa dell'implicazione.
Finito il giro del mondo, ti chiedi come mai tu non abbia mai trovato la condizione falsa.
E tutti ti rispondono che e' giusto che sia cosi', che deve essere cosi', altrimenti e' l'implicazione ad essere sbagliata.
Ok?

[panausen]

Ho letto entrambi e prendo come spunto per rispondere questo che è il punto in cui mi areno.

è normale che poi non si può realizzare una cosa che rende falsa l'implicazione, cioè che esista un elemento di $A$ che non sia in $B$.

Il mio ragionamento era, ma se l'implicazione ha una riga con valore di verità falso, perché dite che è normale che non si realizzi?
Lo chiedo perché componendo le tavole con varie proposizioni per cui si giunge a un qualcosa del tipo (varie proposizioni connesse con connettivi ligici)=>Q, il valore falso si tiene sempre e al massimo per ragionamenti veri si arriva ad avere in ultima colonna¹ il solo valore di verità vero. Quando non si arriva ad avere valore tutto vero in ultima colonna si deduce che il ragionamento era falso.
Invece mi lascia stupefatto che qui non si compendia proprio la riga falsa, cioè la si esclude a priori.
In analocia a questo mi aspettavo che $x∈A⇒x∈B$ risultasse sempre vero e non che ci fosse la riga falsa.

Non so se ho ben spiegato il punto che mi confonde.

Aggiunta:
Per riprendere l'esempio di quinzio direi che (varie proposizioni connesse con connettivi ligici)=>Q si può rendere così.
Piovere vul dire che ci sono le nuvole e cade acqua da cielo, quindi:

Con questo intendevo che solitamente ho tutta verità nell'ultima colonna, cosa che non accade per $x∈A⇒x∈B$

---

Note

1. ad esempio ho (varie proposizioni connesse con connettivi ligici)=>Q come ultima colonna ↑

[otta96]

Allora, $A\subseteqB$ è una proposizione non quantificata, cioè non si sta riferendo a nessun insieme in particolare, il fatto che la tabella di verità non sia sempre vera significa che non è sempre vera, dipenderà dai singoli casi. Se prendi un caso specifico, come quello che hai disegnato, la proposizione dovrà essere per forza o vera o falsa; nel caso che hai considerato te la riga della tabella di verità che corrisponde al falso, cioè $x\inB,x\notinA$, non si può verificare per la natura del caso in questione e ciò basta per concludere che in questo caso la proposizione iniziale è vera.

[panausen]

Grazie. Qundi, per capire se dico così è giusto?
$x∈A⇒x∈B$ è differente rispetto al caso del ragionamento dell'implicazione sulla pioggia (cade acqua e nuvole)=>nuvole, in quanto $x∈A⇒x∈B$ (ossia A⊆B) è non quantificata.
E' quindi a seconda sei casi specifici che la proposizione $x∈A⇒x∈B$ sarà vera o falsa, nel nostro caso era per forza vera poiché la riga falsa NON può MAI verificarsi per la natura del caso in questione.

Praticamente non devo trovare la tautologia come nei ragionamenti logici, ma mi basta ragionare sul caso in esame e notare che quella riga non sussiste mai, quindi ho in "automatico" la tautologia. (detto un po' male ma per capirsi).
(?)

Spero di non averti travisato.

[otta96]

Praticamente non devo trovare la tautologia come nei ragionamenti logici, ma mi basta ragionare sul caso in esame e notare che quella riga non sussiste mai, quindi ho in "automatico" la tautologia. (detto un po' male ma per capirsi).
(?)

Esatto

[panausen]

Ti ringrazio molto per la tua disponibilità nella delucidazione. Ora che ho capito sono molto contento
Grazie ancora!

[Il_Gariboldi]

Allora, $A\subseteqB$ è una proposizione non quantificata

@otta96: potrei chiederti in che senso non è quantificata? perché io l'ho sempre vista scritta come $AAx, (x in A => x in B)$ e il "per ogni" non dovrebbe quantificare? Che poi sarebbe possibile riscrivere come: $AAx in A, x in B$. Non ho quindi capito bene la tua spiegazione e vorrei vederci più chiaro.

Spero potrai chiarirmi perché mi incuriosiva.

[otta96]

Intendo che $A$ e $B$ non sono quantificati, il significato della proposizione cioè la definizione di inclusione lo è come hai detto tu, ma non mi riferivo a quello.