Esistenza Elemento primitivo

[francicko]

Premetto che ho letto la dimostrazione di tale teorema in rete, ma non sono riuscito a capire granché, perlomeno l'idea che ne sta alla base.Stando al teorema se $F$ è un campo infinito a caratteristica zero, per semplicità possiamo prendere $F=Q$, campo dei numeri razionali, consideriamo il polinomio $p(x)$ di grado $n$, irriducibile in $F=Q$, indichiamo con $(x_1,x_2,...,x_n)$ le sue radici distinte, esisterà in definitiva, un $c$ appartenente ad $F(x_1,x_2,...,x_n)$ tale che $F(c)=F(x_1,x_2,....,x_n)$, mi chiedo, che forma dovrà avere l'elemento $c$ candidato allo scopo?
Ad esempio per un polinomio di secondo grado tale elemento corrisponderà banalmente ad una delle due radici, per un polinomio di terzo grado irriducibile, che forma avrà?
Se prendiamo, ad esempio, il polinomio di terzo grado $x^3-2$ irriducibile , che forma dovrà avere $c$?
Mi chiedevo altresì, trattandosi di un elemento che genera il campo di spezzamento del polinomio, esso potrebbe non essere unico, ma saranno in numero uguale al numero di automorfismi di tale campo di spezzamento?
Scusatemi per la banalità od il non chiaro senso delle domande, sto cercando solo di capire. Grazie!

[Martino]

Probabilmente un elemento primitivo va ricercato tra le combinazioni lineari delle radici a coefficienti in $F$. Più di così non ti saprei dire.

[francicko]

L'esistenza di un siffatto elemento, che certamente non sarà unico, viene dimostrata ipotizzando un campo a caratteristica zero $F$ ed un estensione $E=F(alpha,beta)$ ,dove $alpha ,beta$ risultano essere algebrici su $F$, con rispettivi polinomio minimi $f(x)$ ed $g(x)$, in fin dei conti si tratterebbe di adattare la dimostrazione al caso in cui tali polinomi minimi coincidono, cioè $alpha$ e $beta$ hanno lo stesso polinomio minimo e quindi irriducibile, puoi provare a darmi una spiegazione più precisa, grazie?

[Martino]

Come ti ripeto non ti so dare un algoritmo che funziona in tutti i casi. Se avessi il campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di grado $3$ con radici $a,b,c$ per esempio, il campo di spezzamento $E=F(a,b,c)$ sarà probabilmente uguale a $F(a+b)$, ma per esserne sicuri bisogna scrivere la dimostrazione.

[Martino]

No, $F(a+b)$ non funziona, si può provare con cose del tipo $F(a+nb)$ con $n$ intero.

[hydro]

Ovviamente per induzione basta dimostrare che $F(\alpha,\beta)$ ha un elemento primitivo. Vanno bene tutti gli elementi della forma $\alpha+c\beta$ con $c\in F$, tranne al più per un numero finito di $c$. Infatti se $F(\alpha,\beta)\ne F(\alpha+c\beta)$ allora c'è un automorfismo $\sigma$ non banale tale che $\sigma(\alpha+c\beta)=\alpha+c\beta$. D'altronde $\sigma(\alpha+c\beta)=\sigma(\alpha)+c\sigma(\beta)$, quindi \(c=(\alpha-\sigma(\alpha))/(\sigma(\beta)-\beta)\). Ma allora $c$ può assumere solo un numero finito di valori.

[francicko]

Ed allora nel caso del polinomio irriducibile $x^3-2$ che ha radici $root(3)(2),omegaroot(3)(2),omegaroot(3)(4)$
dove con $omega$ indichiamo una radice dell'unità, quale è un elemento siffatto?
Inoltre tale elemento $gamma$ con $Q(gamma)=Q(alpha,beta)$ dovrà avere un polinomio minimo di grado $6$ , ed una base dell'estensione risulta essere $1,gamma,gamma^2,gamma^3,gamma^4,gamma^5$ giusto o sto facendo confusione?

[hydro]

Leggi la dimostrazione che ho scritto una, dieci, cento, mille, diecimila volte finché non la capisci, e vedrai che a quel punto sarà chiaro come cercare (e trovare) un elemento primitivo.

[francicko]

Ok grazie, seguiro il tuo consiglio.

[francicko]

Scusate se insisto sull'argomento, mi sto sforzando di capire, ho cercato di svolgere il seguente esercizio , dimostrare che $Q(sqrt(2)+sqrt(3))=Q(sqrt(2),sqrt(3))$ ho preso in considerazione l'elemento $((sqrt(2)+sqrt(3))^3=2sqrt(2)+3sqrt(3)+6sqrt(3)+9sqrt(2))$ $in $ $Q(sqrt(2) + sqrt(3))$ dopodiché sottraggo dal su indicato elemento l'elemento $9(sqrt(3)+sqrt(2))$ sempre $in$ $Q(sqrt(2)+sqrt(3))$, ed ottengo che $2sqrt(2)$ $in$ $Q(sqrt(2)+sqrt(3))$ quindi anche $(1/2)2sqrt(2)$ $in$ $Q(sqrt(2)+sqrt(3))$ e quindi anche $sqrt(3)$ $in$ $Q(sqrt(2)+sqrt(3))$ e quindi $Q(sqrt(2),sqrt(3))=Q(sqrt(2)+sqrt(3))$ , ritornando all'idea che l'elemento candidato affinché si abbia $Q(alpha,beta)=Q(alpha+beta)$ deve essere l'elemento $((alpha+c(beta))$ con $c$ $in$ $Q$, in questo caso per $c=1$ risulta vero, quali sarebbero i valori di $c$ da escludere?