Esiste unico (dimostrazione)

[ganxi]

Buonasera,

stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.

Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che

- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$

Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:

1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),

Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)

allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.

[megas_archon]

La risposta alla tua domanda è sia sì che no.

Non credo che il genere di astrazione che stai cercando di fare sia possibile, nel senso che quando p, q, r sono espressioni generiche non si può dire molto. Probabilmente vuoi restringerti al caso in cui le dette p, q, r sono elementi dell'algebra libera su una qualche segnatura (per esempio un semigruppo, un gruppo libero...) che hanno solo x come variabile libera. Ma la loro forma ora deve essere molto particolare (per esempio non può avere variabili ripetute), per poter studiare senza intoppi quante soluzioni alla "equazione di punto fisso" p(x) = x esistono.

In definitiva non credo che questo sia il punto di vista giusto per capire "perché" l'identità di un monoide è unica. Il motivo è nella forma della proposizione "u è un elemento neutro per l'operazione binaria *", e in particolare nella quantificazione universale "per ogni x, u*x=x*u=x", la quale è sì una equazione di punto fisso, ma di un motivo molto particolare, che permette di argomentare come sai: se supponiamo u, u' siano entrambi elementi neutri, allora u=u'.

[ganxi]

Ciao.
Non ho ben capito il discorso sull'elemento neutro nel senso che a me sembrava c'entrasse l'inverso $a^(-1)$.

Comunque tralasciando questo volevo provare a riformulare meglio la domanda:

mettiamo di voler dimostrare che esiste unica x soluzione di ax=b

Caso A)
Esiste unica la soluzione:
- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
- esistenza: posso sempre assumere $x=a^(-1)b$ (e dimostro) $=> b=b$ quindi è soluzione x

In definitiva ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$

caso B)
Tuttavia mi pare di poterci leggere un esiste unico anche se fosse possibile una dimostrazione del genere (purtroppo non mi viene in mente un esempio che possa rendere l'idea, ma ipotizziamo un caso in cui non valga $ AAx=a^(-1)b$ $=> b=b$ ma si possa comunque mostrare che esiste una x di qualche tipo che renda vera la seguente situazione):

- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo, come prima)
- esistenza: riesco in qualche modo a dimostrare che esiste sempre una $x$ soluzione per $ax=b$ (oss: lo dimostro però non partendo da $x=a^-1b$ come facevo in precedenza. Insomma, partendo da altra ipotesi.)

A questo punto è evidente che non vale più il se e solo se: x sol. $ax=b$ $<=>x=a^-1b$, però vale in un qualche senso una esistenza e unicità, infatti so che se ipotizzo che esiste una soluzione $x$ di $ax=b$ trovo che la soluzione è unicamente della forma $x=a^(-1)b$ (prima parte della dimostrazione). D'altra parte poi (seconda parte) dimostro per altra via che una x che risolve $ax=b$ esiste. Quindi ho che esiste $x$ (l'ho in qualche modo determinata) e dimostro che è soluzione; in più, inoltre, è unicamente della forma $a^-1b$ (dimostrato nella prima parte), a questo punto ovviamente non varrà $ax=b$ <= $x=a^-1b$, però vale un esiste x unicamente della forma $a^-1b$

Se vogliamo in un certo senso non capisco se "esiste unico" sia da mettere in relazione a un "se e solo se" e quindi vale solo quando visto nel caso A, oppure se dimostrando l'esistenza di x in altro modo e poi l'unicità di scrittura come a^-1b è comunque un "esiste unico".

Spero qualcuno possa aiutarmi ancora

[ganxi]

Nessuna idea anche da altri utenti (se ho troppo rotto le scatole )? Ci tenevo moltissimo a capire e discuterne con qualcuno sull'argomento. Scusate se sono sturpido e la domanda è un po tontarella .
Un saluto e buon sabato

[Migliorabile]

Forse ti stai perdendo nei tuoi pensieri
Intanto esiste unico cosa?
La frase dovrebbe essere pincopallino esiste ed e' unico

In questo caso dovrebbe essere: la soluzione dell'equazione $ax=b$ esiste ed e' unica!

Altrimenti ci si potrebbe riferire a patate lesse o biondine carine

Poi il 'discorso sull'elemento neutro' CENTRA, ECCOME se centra!!!
SENZA di quello non fai una cicca!

Poi NON DEVI dimostrare che $b=b$, PER FORZA che sono uguali!
DEVI dimostrare che NON CI SONO DUE soluzioni $x$, $x'$ che RISOLVONO la STESSA equazione.

Partiamo dal concetto che $x$ non e' un'entita' misteriosa MA $x\in G$, $G$ il tuo gruppo.
Poi $G$ e' un gruppo, QUINDI per definizione di gruppo: esiste un'operazionie binaria $*$, esiste l'elemento neutro $u$, e per ogni membro del gruppo $a\in G$ esiste il suo inverso.
Ma come e' definito l'inverso? E' quell'elemento $b$ tale che $a b = u = b a$.
Per convenzione, l'inverso di $a$ si scrive $a^-1$.

ATTENZIONE: c'e' di mezzo la questione della commutativita, cioe' non e' detto che $ab$ sia uguale a $ba$ (un esempio lo sono le matrici NON QUADRATE con la normale moltiplicazione tra matrici). In mancanza di indicazioni specifiche, supponiamo che NON sia commutativo.

ATTENZIONE: scrivere l'inverso come $a^-1$ e' solo una convenzione! In $(\mathbb{Z}, +)$ (numeri interi con segno), l'inverso si scrive $-a$ (-5 e' l'inverso di 5).

ORA, quello che devi dimostrare e' che la soluzione di $ax=b$ esiste ed e' unica!
Ovviamente $ax$ (con $a, x\in G$) esiste, per definizione di gruppo, proprio perche $a$ e $x$ sono membri di $G$.
Quindi $ax=b$ ha soluzione? Non e' detto, in teoria potrebbe anche non essere cosi MA per l'esisteza dell'inverso di OGNI membro di $G$, $a$ ha il suo inverso, QUINDI puoi scrivere
\[a^{-1}ax= a^{-1}b\]
E qui puoi fare DUE semplificazioni per le proprieta' dell'inverso E le proprieta' dell'elemento neutro
\[a^{-1}ax= (a^{-1}a)x=(u)x = ux = x\]
risultato
\[ x = a^{-1}b\]
Ora bisogna mostrare l'unicita' DELLA SOLUZIONE, cioe' che $x$ e' unica! Quello che DEVE succedere e' che, ANCHE se $x'$ e' un'altra soluzione, l'equazione DEVE essere sempre soddisfatta, e cioe'
\[
ax = b = ax'
\]
Poiche' siamo in un gruppo, esiste $a^{-1}$
\[
a^{-1}ax = a^{-1}b = a^{-1}ax'
\]
\[
(a^{-1}a)x = a^{-1}b = (a^{-1}a)x'
\]
\[
(u)x = a^{-1}b = (u)x'
\]
\[
x = a^{-1}b = x'
\]
Toh! Ma guarda, $x$ e $x'$ sono entrambi uguali a $a^{-1}b$, QUINDI $x=x'$, QUINDI la soluzione e' unica!

[ganxi]

Ciao, grazie per la risposta. In realtà devo dire che quanto dici mi torna pressoché bene, però mi accorgo che non risolve il mio dubbio sul tipo di dimostrazione (che poi era in reatà il mio vero dubbio primario). Sebbene con la tua spiegazione abbia capito gli errori sulla dimostrazione di soluzoione di ax=b noto che non mi sono però ultili per capire le dimostrazioni "esiste unico" nella forma da me espressa, perché le ritrovo pari pari in molti contesti e?.... e non riesco ad afferrarle!

Come dicevo il mio professore procede così:

Esiste unica la soluzione:
1- unicità: dimostra $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
2- esistenza: posso sempre assumere il valore x $x=a^(-1)b$ (e dimostro) che SOSTITUENDOLA in $x=a^(-1)b$ ho che b=b ergo esiste sempre una soluzione.

Questo ci dice che esiste unica soluzione per quell'equazione.
Inoltre ci dice implicitamente che ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$

Interpretazione che non mi è chiara (chiamiamola seconda interpretazione per capirci):
Io però continuo a non capire un fatto: se io dimostro 1) come fa il professore e poi per altra via dimostro che esiste sempre una x che sostituita in ax=b mi dà soluzione di fatto ho dimostrato con 1) che è unica, inoltre esiste sempre, quindi "esiste sempre soluzione"?

A parole sembrerebbe di sì, ma sorge il problema con questa seconda interpretazione che non varrebbe più: $ax=b$ $<=>x=a^-1b$ poiché non è più valida: $ax=b$ <= $x=a^-1b$.


Da qui in poi è solo un approfondimento per far capire che la domanda è identica in ogni situazione del genere (se si vuole si può anche saltare)...
Come dicevo il dubbio si ripercuote per qualunque dimostrazione del genere, infatti ad esempio il professore di algebra lineare (e quindi siamo in applicazioni lineari che non centrano un tubo con quanto sopra ) usa lo stesso schema ma su un concetto totalmente diverso:

Teorema: Dati V e W spazi vettoriali e $B={v_1,...,v_n}$ base di V se prendo n vettori qualsiasi ${a_1,...,a_n}⊆W$ allora ESISTE UNICA l'applicazione lineare f:V->W t.c. $f(v_i)=a_i, AAi in {1,...,n}$

DIM:
1- unicità: assunto un qualunque vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$, e considerando che ipotizzando esista $x_i->f(v_i)=:a_i$ avro' che $f(x)$ sarà (per linearità) $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)=x_1a_1+....x_na_n$ e avrà unicamente tale forma la f cercata (ecco l'unicità proprio come nel precedente teorema, prima era unicamente del tipo $x=a^-1b$).
In sostanza quello che fa è partire da una certa f(x) => ha una forma prefissata e l'implicazione ci garantisce proprio essere unica la forma trovata!
2- esistenza: a questo punto passa a dimostrare l'esistenza e dice: assumo a tale scopo $f(x)=x_1a_1+....x_na_n$ perché tanto posso sempre scrivere questa cosa e dimostro che è una $f(v_j)$ di tale tipo: $f(v_j)=0f(v_1)+...+1f(v_j)+....0f(v_n)=f(v_j)=a_j$ come voluto. E questo dice che esiste!

E anche qui la domanda è paro paro, l'esistenza la dimostra in 2) partendo dalla forma che avevo trovato unica: $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ (a), ma se io dimostrassi il punto 2) per altra via, ad esempio non partendo da (a) ma riuscendo a dimostrare semplicemente che esiste sempre una f del tipo f(vi)=ai, ho comunque dimostrato che "esiste unica f(vi)=ai"?
Il dubbio in sostanza è solo questo.

[megas_archon]

Dovremmo provare a cambiare strategia, dato che sembra tu sia perso in una cosa che avresti saputo fare già alle elementari.

Il fatto che vuoi dimostrare è questo: in un gruppo \((G,\cdot,1)\) ogni "equazione" della forma \(ax=b\) ha un'unica soluzione.

La dimostrazione, come hai giustamente notato, è fatta di due parti, l'esistenza di una soluzione, e la sua unicità. Che una soluzione esista segue dal fatto che ciascuna di queste implicazioni è vera in entrambe le direzioni:
\[ax=b\iff a^{-1}ax=a^{-1}b \iff 1\cdot x = a^{-1}b \iff x = a^{-1}b\]
del resto ora non devi fare granché per mostrare che questa soluzione è unica, dati \(a,b\in G\), perché l'espressione \(a^{-1}b\) è univocamente determinata a partire da questi due elementi di $G$. Oppure, più formalmente, la corrispondenza \((a,b) \mapsto a^{-1}b\) è una funzione, quindi c'è un solo elemento che corrisponde ad \((a,b)\), una volta che essi siano fissati.

[Migliorabile]

esiste una soluzione ed e' unica

indipendentemente dal contesto (quindi, come dici tu, in generale), richiede DUE passi:

1) ESISTE la soluzione? potrebbe non esistere
2) SE dovesse esistere UN'ALTRA soluzione, questa e' DIVERSA dalla prima oppure no?
Se no, nel senso che sono UGUALI, allora la soluzione e' unica!

Pensa ad un polinomio di 2 grado: $ax^2+bx+c=0$

1) esiste soluzione (in $RR$)? Si e no, DIPENDE!
2) supponiamo che esista la soluzione. Questa e' UNICA? No ma anche si (più o meno). DIPENDE,!

Il (piu' o meno) si riferisce al fatto che il polinomio ha sempre 0 o 2 soluzioni reali, eventualmente le due soluzioni potrebbero coincidere, ma SONO DUE. Non e' l'esempio piu' giusto, ma serve per farti capire che i passi da fare sono DUE e nell'ordine indicato all'inizio.

E' OVVIO che NON PUOI, come hai scritto, PRIMA controllare se la soluzione e' unica E POI se esiste
Non funziona!

E' come voler invitare gli amici a cena per presentare la famosa biondina PRIMA di aver trovalo la suddetta biondina (o se vuoi, mangiare le tue famose patate lesse PRIMA di aver comprato le patate, ma la biondina e' meglio )
Non funziona!

[hydro]

E' OVVIO che NON PUOI, come hai scritto, PRIMA controllare se la soluzione e' unica E POI se esiste
Non funziona!

Non confondere ulteriormente le acque. Certo che si può, e spesso è quello che si fa, anche se più per un vezzo matematico che per un motivo contingente. Se non esiste una soluzione, la proposizione "se una soluzione esiste, allora è unica" è sempre vera, perchè la premessa è falsa.

[Migliorabile]

@hydro, sono nuovo nel forum, ma, insomma, fino ad ora pensavo di saperne qualcosina
Se mi mostri un caso in cui PRIMA si dimostra che una soluzione e' unica E poi se esiste, mi genufletto al tuo cospetto
Vuol dire che tutto quello che ho imparato fino ad ora va, letteralmente, a gambe all'aria

(Senza mettersi a pasticciare con la logica dei predicati del primo ordine, l'implicazione e le elucubrazioni mentali tra filosofia e implicazione materiale )