Esiste unico (dimostrazione)

[Il_Gariboldi]

Ho atteso oggi a rispondere, non per svogliatezza, ma perché volevo seguire il tuo consiglio di rifletterci più autonomamente possibile e sono giunto ad alcune conclusioni che ho necessità di esporre .


Bhe direi che riguardo quel punto non ho bisogno di altri chiarimenti mi sembra ok. La tua spiegazione mi ha fatto capire penso bene.

Non mi interessa tanto l'unicità ma l'esistenza quindi faccio il caso generale.
Dal discorso delle pagine precedenti mi ero figurato questa idea (che ho capito essere errata ma ripeto solo per chiarire perché nascesse la domanda posta):
1) $∃X$,(X soddista $P(X)$ => $X in S$), cioè avevo intuito un se esiste x che soddisfa P allora ho $x in S$=Q(x)
detto questo mi sembrava utile perché poi dicevo mostro che esiste la x supposta in 1) esistente tramite il secondo passaggio:
2) $AA X$,($X in S$ => X soddisfa $P(X)$) questo dimostra che X esiste: prendo un X appartenente a S e dimostro che X soddisfa P esiste.


Mentre in realtà la formulazione corretta è:
a) $AA X,$(se x soddisfa $P(X)$ => $X inS$)
b)$AA X$,($X in S$ => X soddisfa $P(X)$) questo dimostra che X esiste

(ovviamente per esistenza e unicità cambia poco, ci basta furbescamente usare $X=S$ in luogo di $X in S$ e avremo l'unicità, l'idea però rimane la stessa per forumlare la parte di "esistenza")

L'esempio base era quello da te proposto:

Sì G.D., ma (almeno per quanto mi riguarda) la discussione riguardava l'esistenza e unicità della soluzione. Se non si ha l'unicità si devono ovviamente fare piccole modifiche. Tu stai parlando di un caso in cui si ha l'esistenza ma non l'unicità. Cioè stai dimostrando che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X in S$" dove $P$ è una certa proprietà e $S$ è un certo insieme.

Per esempio cerchiamo le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che (*) $f'=f$ e dopo dei conti troviamo che, se vale (*), allora $f$ dev'essere necessariamente del tipo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$. Ora mostriamo (facilmente) che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$. Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.

Mi sembra giusto vero? O come si dice non ho detto c@xxhate ?



L'unica cosa che mi sarebbe piaciuto risolvere per metterci una pietra sopra era l'esempio:

Quando si vuole dimostrare classicamente una "<=>", e non una esistenza come sopra si fa:
1b) per ogni X, (X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo), che leggo sempre come per ogni X, X che verifica P(X) => Q(X).
(come giustamente mi hai fatto osservare dato che dal falso ho sempre vero procedo così: nel caso dell'equazioni supponiamo l'esistenza di una X che verifica P(X) e si dimostra Q(X), nel caso del cane prendo gli X animali dal mio insieme universo e suppongo che ci sia l'animale X che verifica P(X) e mostro (dimostro) che ottengo sempre Q(X), obv.).

2b)posso dimostrare anche qui l'altra implicazione (e uso sempre i vostri esempi per non aggiungere dettagli inutili ai fini):
per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale che verifica P(X)=essere cane).
Ma non è che svolgendo questo secondo punto sto dimostrando che esiste un animale cane (che ho supposto esistere in precedenza, mentre nei casi precedente era proprio questa seconda implicazione a garantire l'esistenza della X). Mi sembra solo di stare asserendo che per ogni animale che nel dna ha una traccia di quel primo lupo primordiale comune => è un cane. Fine, non dimostro una esistenza della X cane.
Mentre nel caso dell'equazione proprio in questo passaggio dicevo che quando dimostrato mi mostra che la X esiste! -Quella X che non sapevo esistere dal I° passaggio ma che avevo supposto verificare P(X)= equazione data -
Quindi di fondo cosa cambia? Non mi è evidente, poiché come nei casi precedenti ho "X che verifica P(X) <=> Q(X)=$X in S$" ma non sto dimostrando una esistenza dell'animale cane con <=, mentre in precedenza al punto 2) dimostravo proprio una esistenza di f, o di x soluzione dell'equazione, ecc., ma io sto esattamente facendo la stessa dimostrazione. Mi interesserebbe molto quindi capire come districare il caso di esistenza dal caso di biimplicazione classica, di fondo cosa cambia? Perché mi sembra la stessa cosa e ci ho riflettuto a lungo, anzi ha pure invaso i miei sogni dato che è stato l'ultimo pensiero di ieri prima di addormentarmi lol.

[Martino]

No ti prego non farmi questo... o meglio puoi farlo ma non ho il coraggio di risponderti. Posso solo dirti che capisco pochissimo di quanto scrivi. Spero che gli altri utenti ti possano aiutare.

Il problema è che è ormai da mesi che scrivo di queste cose sul forum e ogni volta viene fuori un nuovo utente che si legge tutto e fa le sue domande. Purtroppo non ho l'energia di riscrivere tutto da zero ogni volta. Buona fortuna!

[megas_archon]

Ma infatti santoddio, che problema c'è ancora?

[Il_Gariboldi]

Ma infatti santoddio, che problema c'è ancora?

Boh mi sembrava solo non tornarmi ma ci rifletterò in autonomia siccome mi sembra di comprendere che non sono stato molto bravo a spiegare il problema.

Se mai qualcuno passasse in questa ultima pagina riassumo per non fargli leggere tutta la pappardella, volevo solo capire questo:

Quando si dimostra l'esistenza di una X si opera seguendo i due punti:
a) $AA X,$(se x soddisfa $P(X)$ => $X inS$)
b) $AA X$,($X in S$ => X soddisfa $P(X)$) questo dimostra che X esiste: prendo un X appartenente a S e dimostro che X soddisfa P esiste.


Se invece prendo una biimplicazione del genere:
X animale che verifica P(X)=essere cane <=> X è un animale con antenato comune un certo lupo

svolgo i seguenti passi:
a') per ogni X, (X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo)
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale che verifica P(X)=essere cane)

La domanda è quindi: perché il punto b dimostra una esistenza della X (perché io non so se esiste, come nell'esempio di $sqrtx=-1$, lì non esiste e nel punto a suppongo esista) è b a garantirci l'esistenza o meno di quegli elementi X, mentre quando studio b' non mi sembra stia dimostrando l'esistenza di X cane, di fatti anche nell'esempio del cane io suppongo l'esistenza di X cane in a' e svolgo i passi dimostrativi, però X cane esiste e b' (ossia <=) non è atta a dimostrare l'esistenza di alcunché.

Lascio ai posteri l'(h)ardua sentenza

[Martino]

perché il punto b dimostra una esistenza della X

Il punto b non dimostra l'esistenza di niente. Pensi davvero di poter dimostrare matematicamente l'esistenza di un cane?

Quando dimostri un'implicazione logica non stai dimostrando l'esistenza di niente, stai dimostrando che se vale una certa premessa allora vale una certa conseguenza. L'effettiva verità della premessa è del tutto irrilevante. Supporre vera una cosa che poi si rivela essere falsa è del tutto lecito, significa semplicemente che la cosa supposta vera in realtà è falsa.

[Il_Gariboldi]

Sì, certo, ma è quello che sto asserendo: b' non dimostra l'esistenza di alcun cane. Ed è quello che mi sembra strano!
Perché, quando noi dimostriamo esistenza (e unicità), è proprio tramite il punto b che concludiamo che la X che soddisfa P(X) esiste.

Riprendendo gli esempi:
b1) assumo $x=a^_1b$ e dimostro che è soluzione di $ax=b$, questo dimostra che x supposta in a esisteva.
b2) assumiamo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$ e mostriamo che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$, quindi la f assunta in a esiste.
b3) $1$ non è soluzione di $sqrt(x)=-1$ perché $sqrt(1) = 1 ne -1$, quindi la soluzione cercata non esiste.

b permette ragionamenti sull'esistenza dell'oggetto X partendo da ipotesi di solito, mentre come dici anche tu b' non dimostra l'esistenza del cane (sempre intendendo che si ha per ipotesi che si ha un X animale con nel dna quel dato lupo primordiale comune a tutti i cani); a questo punto:
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale verifica P(X)=di essere cane)
dovrebbe essere vista come una esistenza di X cane che in a' supponevo esistere per dimostrare la prima implicazione appunto (è paro paro ai punti b1, b2, b3). La logica che ci sta sotto mi sembra la stessa, non vedo quindi perché dovrebbero sussistere differenze.

[Il_Gariboldi]

Quello che voglio dire è quindi che i punti b1 b2 b3 mi sono proprio utili (se non indispensabili!!) per mostrare che la X esiste o meno.
Il punto b' (quello del cane) non mi è utile a dimostrare che X cane esiste.

Il concetto dubbio è banalmente questo... riassumendo in due righe

[Martino]

I vari punti b che hai citato partono da un oggetto X la cui esistenza è indiscutibile e procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P, dimostrando così che la soluzione di P esiste. Cioè nel punto b non dimostri l'esistenza di niente. Parti da un oggetto che già sai esistere e dimostri che è soluzione.

[Martino]

Cioè è chiaro che $1$ esiste, questo non è in discussione. Se poi dimostri che $1$ è soluzione di (*) $x^2-2x+1=0$ non hai dimostrato che $1$ esiste, hai solo mostrato che una soluzione di (*) esiste.

[Il_Gariboldi]

procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P, dimostrando così che la soluzione di P esiste

Questa frase mi ha fatto riflettere sul punto che comprendevo male, perché io intendevo "dimostrazione di esistenza e unicità" come dimostrare che esiste (e in aggiunta unica, ma ora non ci interessa) la X. Il punto è che dimostro che esiste X soluzione di P, mi concentravo erroneamente su X come oggetto da dimostrare esistente, ma ora che mi ci fai riflettere in realtà provo che esiste soluzione di P(X).

Dunque a questo punto si può estendere anche all'esempio del cane, per forza di cose, così tornerebbe:
a') per ogni X, (X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo).
Come già detto qui assumo tutte le X, le X che non verificano l'ipotesi non le calcolo perché automanticamente verificano l'implicazione e quindi assumo che esista X che verifica P(X) (ma non so se esiste in questo passo proprio come $sqrtx=1$), quindi ipotizzo esista un animale cane e vedo che rende vera =>, fine.

Il punto cruciale è questo:
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale verifica P(X)=di essere cane)
assumo X animale che avente dna di lupo esiste (facendo un parallelismo al tuo ultimo esempio sarebbe 1), e questo non è in discussione: esiste e basta; poi dimostrando che tale X verifica l'essere cane otteniamo che posso concludere che esiste X che verifica il P essere cane. Mi sembra così abbia senso appunto, otteniamo che un animale del genere (cioè cane che verifica P) esiste.
E' questo senso di esistenza che volevo cogliere col mio discorso.

Comunque mi scuso perché non volevo rompervi così tanto le Pallet con la mia domanda .