Esiste unico (dimostrazione)

[Martino]

Ma non è che assumi che l'animale "avente dna di lupo" esiste, quell'animale esiste o non esiste. Se hai in casa un animale così che si chiama Toby allora sai che esiste perché ce l'hai davanti. Poi argomenti che Toby è un cane e hai dimostrato che un cane esiste. Ma è strano come esempio perché fuori dall'ambito puramente matematico l'esistenza è un concetto non facilmente definibile. Cosa vuol dire che un cane esiste? Io esisto? Tu esisti?

Lascia stare i cani e i lupi, è meglio se ti concentri su enunciati matematici.

[Il_Gariboldi]

Ma non è che assumi che l'animale "avente dna di lupo" esiste, quell'animale esiste o non esiste.

Volevo dire "esiste quell'animale" (come esiste 1 nel tuo esempio e poi svolgo la <= ). parto cioè da una cosa che esiste e mostro che risolve P(X).
Volevo replicare il punto b partendo da un animale che so esistere con quel dna:
"I vari punti b che hai citato partono da un oggetto X la cui esistenza è indiscutibile e procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P".
Ho usato in modo infelice la parola "assumo"


Per il resto sì, hai ragione sull'esempio, avevo solo preso un esempio fatto in precedenza riadattandolo per non farne di altri. Il mio scopo era in realtà solo il voler cogliere l'essenza del concetto esistenza di "X che risolve un problema P" della: $X$ risolve $P(X)$ $<=>$ $X in S$.
Siccome, come si diceva
- per il verso =>: P(X) potrebbe anche non esser verificata , quindi non ne so l'esistenza di X che risolve P.
- la risposta sull'esistenza ce la dà invece l'altro verso <=: quando assumo $X in S$ e dimostro => $X$ risolve $P(X)$ esso ci suggerisce che esiste la X soluzione di P(X), cercavo di afferrare se si potesse fare un ragionamento simile qualunque fosse la nostra implicazione e quindi dire se appunto "esite X animale con quel dna => X è un cane", potesse assumere il senso di mostrare (in una certa qual misura) l'esistenza di un X animale che risolve l'essere un cane.

Volevo spremere l'essenza del discorso per afferrarlo meglio, lo scopo era puramente quello .

[Martino]

Ok!

[Il_Gariboldi]

(**) "per ogni $x$, se $P(x)$ allora $x=S$".

Per dimostrare (**) si prende un $x$ che soddisfa $P$ supponendo appunto che un tale $x$ esista, perché se non esiste nessun $x$ che soddisfa P allora (**) è automaticamente vera, per definizione di implicazione logica.

Comunque riflettendo lungamente anche su questa tua precedente risposta mi accorgo che uno dei problemi sorgeva anche da questo:
quando io ad esempio ho:
P(x) => Q(x)
- se x cane => x ha 4 zampe
- se x soluzione di $sqrt(x)=-1$ => $x=+-sqrt(-1)$

il punto che mi pare importante è che se parto da x cane che so esistere (indiscutibilmente) e mostro che x risolve Q(x)=avere 4 zampe, allora questo ci dice che esiste x che verifica Q(x), questo perché come detto x esiste per forza, siamo partiti da un x esistente e quindi esiste e risolve Q.
mentre nella seconda ipotizzo-assumo che x esista come soluzione e mostro che in tal caso ($x=+-sqrt(-1)$)=Q(x), però siccome x non è detto esista (infatti poi non esiste!) non posso nemmeno concludere che esiste x che risolve Q(x).
L'esistenza non è tanto intrinseca nell'implicazione ma nel fatto che parto da una ipotesi di x esistente in quella del cane.

Questo per dire che l'implicazione assume un senso di esistenza di qualcosa che verifica Q(x) solo se parto da x sicuramente esistente.

Comunque ti ringrazio per avermi fatto ragionare molto su cose su cui mai avrei posto la dovuta attenzione.
Ma che tu sappia dove potrei indagare oltre queste cose? (intendo se sei a conoscenza di qualche testo di -credo- logica di questo tipo, cioè molto base.)

[Martino]

Guarda, non è difficile: se $x$ è un qualsiasi numero reale tale che (*) $sqrt(x)= -1$ allora elevando al quadrato otteniamo $x=1$. Questo prova che nessun numero reale diverso da $1$ è soluzione di (*). D'altra parte $1$ non è soluzione di (*) perché $sqrt(1)=1 ne -1$. Questo dimostra che (*) non ha soluzione.

Se invece hai (**) $sqrt(x)=1$ allora prendi $1$ (che esiste) e mostri che è soluzione di (**) perché $sqrt(1)=1$.

Sono due approcci diversi. In (1) prendo una soluzione $x$ qualsiasi e cerco informazioni su $x$. In (2) prendo un $x$ specifico e mostro che è soluzione.

Cioè in (1) si sta cercando una condizione necessaria ("se (*) vale allora $x=1$") mentre in (2) si cerca una condizione sufficiente ("se $x=1$ allora (**) vale").

Non ti so indicare libri, pensaci per qualche mese. Secondo me sei nel mezzo di un'elaborazione personale e queste cose le dominerai bene col tempo.

[Il_Gariboldi]

Sono due approcci diversi. In (1) prendo una soluzione $x$ qualsiasi e cerco informazioni su $x$. In (2) prendo un $x$ specifico e mostro che è soluzione.

Ecco, sì mi sembra proprio quello che cercavo di esprimere in modo peggiore. Cioè che alla fine la differenza era proprio sull'ipotesi ho sempre "se vale P(x)" però da una parte con una x che non ho idea se renda o meno valida P(x) suppongo solo ci sia tale x e col processo dimostrativo valuto cosa viene fuori come info sulle x. Dall'altro ho proprio una x=1 fissa, quindi esiste a priori e dimostro che verifica P(x), concludo quindi esiste x che verifica P(x).
Mi sembra ora di esserci arrivato, con un po' di fatica per tutti e due .
Grazie.

[Il_Gariboldi]

Anche perché appunto in (1) suppongo x sia soluzione di $sqrt(x)=-1$ e può anche non esserci nemmeno la soluzione (difatti non ha soluzione come si dimostra dopo) e valuto il caso in cui l'antecedente sia vero (cioè vero che x può essere soluzione) e antecedente falso (che x possa essere soluzione) il caso falso rende sempre vera l'implicazione ovviamente; mentre in (2) suppongo x=1, però beh x può assumere quel valore (infatti è proprio uguale a 1, lo scelgo tale), e procedo di nuovo dicendo x=1 (antecedente vero), e poi il caso antecedente falso e dimostro l'implicazione per vero.

Mi portava fuori tracciato proprio il fatto che in (1) fosse solo una supposizione x=soluzione non esiste, mentre (2) una certezza x=1 esiste. Detto in altre parole io suppongo l'antecedente vero e procedo a dimostrare in ambo i casi, però in (1) in realtà non lo sarà mai vero, in (2) sì, perché x=1 può esserlo.

[Martino]

Ok va bene

[Il_Gariboldi]

Ti ringrazio per avermi portato a comprensione . Ne farò tesoro.