Domanda sui campi

[francicko]

Sia $F$ è un campo, $F[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in $F$, allora $E=(F[x])//(p(x))$ è un campo se e solo se $p(x)$ è un polinomio primo in $F[x]$, il campo $E$ sarà costituito dagli elementi $E= a_0+a_1x+ a_2x^2+....+a_(n-1)x^(n-1)$, mi chiedevo comunque preso un generico elemento, $a_0+a_1x+....+a_i^i$ ,quindi di grado $i$ $in$ $N$, il suo inverso sarà anche di grado $i$, perché?

[megas_archon]

Bah, è falso: prendi $F=QQ$ e \(p = x^3+x+1\) (che è irriducibile, la sua unica radice reale è irrazionale), l'inverso di \(x+1\) è \(x^2-x+2\).

...Ma che poi, il grado di un polinomio in un quoziente della forma \(F[x]/p\) è ben definito?