Alcune considerazioni su inversi destri e sinistri

[cantbury]

Ciao,
vorrei porre una domanda sugli inversi.

So che dato un insieme A e una operazione * se:
- esiste inverso destro "b" e l'operazione è commutativa => $a*b=b*a=0$ Quindi deduco che ho anche inverso destro.
- se vale la proprietà associativa es esiste inverso destro allora coincide con il sinistro e in particolare se esiste destro ed esistendo sinistro esso è unico.


c'è però una domanda che mi pongo sul primo caso, non è assicurato che quando vale solo la commutativa l'inverso sia unico giusto? Io so solo che il destro è anche sinistro (chiamiamolo b) ma potrei avere un ulteriore inverso sinistro b' (che poi sarà anche destro) e un altro ancora b'' inverso destro (che sarà anche sx) che non coincidono.

Perché pensavo di assumere: mettiamo di avere un b' destro diverso da b e oltre al b che è inverso. Volevo vedere se potevo dimostrare con la sola commutatività che b=b' e mi pare di non riuscirci quindi deduco non si possa:
ba=ab=1=ab' quindi ab=ab' e qui mi accorgo che b'=b solo se associativa applicando b a sinistra. Ma io ho supposto solo commutativa.

Vorrei capire se è corretto.

[Martino]

Ciao, il tuo argomento non funziona perché per mostrare che una cosa non è vera in tutti i casi bisogna esibire un controesempio, cioè un caso in cui non è vera.

Per esempio se dico "tutti i numeri interi sono pari" questo è falso perché per esempio 3 è dispari.

Prova a costruire un controesempio.

[cantbury]

No, certo. La mia era solo una congettura. Per questo chiedevo se, in generale, valesse.
Non era un ragionamento dimostrativo, ma solo il motivo per cui mi era sorto il dubbio (cioè non riuscire a dimostrarlo), purtuttavia non trovando controesempi mi ero bloccato

Provo a pensarne ad altri.

[mitcho]

c'è però una domanda che mi pongo sul primo caso, non è assicurato che quando vale solo la commutativa l'inverso sia unico giusto? Io so solo che il destro è anche sinistro (chiamiamolo b) ma potrei avere un ulteriore inverso sinistro b' (che poi sarà anche destro) e un altro ancora b'' inverso destro (che sarà anche sx) che non coincidono.

Questa cosa interesserebbe anche me, ma non mi sono venuti in mente controesempi. Più che altro dovrei pensare a qualche insieme con operazione che sia solo commutativa ma non ne ho in mente

edit: typo vari ed eventuali

[Martino]

Non è difficile, un'operazione si può costruire per mezzo della sua tabella. Facciamo così: prendiamo un insieme con 3 elementi $a,b,c$ e definiamo la seguente operazione, che ha $a$ come unico elemento neutro ed è commutativa.

\( \displaystyle \begin{array}{c|c|c}
* & a & b & c \\ \hline
a & a & b & c \\ \hline
b & b & a & a \\ \hline
c & c & a & a \\
\end{array} \)

L'inverso esiste sempre ma non sempre è unico, per esempio $b*c=b*b=a$.

Ovviamente non è un'operazione associativa.

[Martino]

Un altro esempio è la seguente operazione definita sull'insieme dei numeri reali non negativi:

$a star b := sqrt(|a^2-b^2|)$

È commutativa, l'unico elemento neutro è $0$ (infatti $0$ è neutro e, se $e$ è neutro, allora $e=e star e=0$) ma ogni elemento $a$ diverso da zero ha due inversi, $a$ e $-a$.

[mitcho]

La seconda non ci avrei mai pensato. Per la prima è molto interessante, ho visto che si fa in algebra, peccato non venga insegnata a noi fisici.
Mi hai aperto un capitolo

[mitcho]

Siccome mi ha incuriosito potrei chiederti due curiosità al riguardo? mi son sorte pensandoci due minuti.
L'esempio che hai portato ha ovviamente due inversi di b ossia: b e c, e anche c ha due inversi.

1)Potevo anche costruire una tabella tale che c*c=b per esempio e quindi l'inverso di c era solo b (cioè uno) giusto?
2) identicamente potrei studiare unao perazione tale che b*b sia c x*c=c e solo c*b=b*c=a quindi con un solo inverso?
delle due precedenti mi chiedo cioè se sono operazioni a pieno diritto e lecite.

3) infine volevo capire, la commutatività nella tabella è ben comprensibile (mi pare ovvio) ma l'associatività mi sembra meno... cioè mi chiedo: dato che so che se l'operazione è associativa sicuramente l'inverso è unico, data la tabella non posso capire a colpo d'occhio se è associativia e quindi dire sicuramente non ha inversi? giusto?
Immagino ad esempio una tabella 20*20 poteva esser comodo, ma non vedo come mostrare l'associatività solo tramite tabella (in modo semplice come per la commutatività che appare subito).

[megas_archon]

Un metodo per stabilire se una operazione è associativa guardando quel tipo di matrici si chiama "test di Light".

[Martino]

Riguardo l'associatività ti ha risposto megas_archon. Se cerchi "Light associativity test" trovi la pagina wiki che spiega (se non ho capito male) che non si conoscono algoritmi algoritmicamente più veloci di quello "naif".

delle due precedenti mi chiedo cioè se sono operazioni a pieno diritto e lecite

In matematica capisci le cose facendoti le domande giuste. In questo caso la domanda "questa operazione è lecita?" non è la domanda giusta.

La domanda giusta è "cos'è un'operazione?".

Un'operazione (binaria) in un insieme $A$ non è altro che una funzione $f: A xx A to A$. Questo significa che comunque decidi di riempire una tabella quadrata con $|A|$ righe e $|A|$ colonne, usando elementi di $A$, quella ti darà un'operazione in $A$. In altre parole per costruire un'operazione in $A$ quello che devi fare è scegliere (come ti pare) un elemento $f(x,y) in A$ per ogni $x,y in A$. Di solito anziché $f(x,y)$ si preferisce scrivere $x star y$ (o simili).