Elemento primitivo

[francicko]

Se $E$ è un campo di spezzamento del polinomio $p(x)$ a coefficienti in $Q$ di grado $n$, le cui radici indichiamo con ${x_1,x_2,...,x_n}$, sia $alpha$ un elemento primitivo tale che $Q(alpha)=E$ il suo polinomio minimo avrà grado uguale ad $[E:Q]$?
Inoltre un tale elemento sarà lasciato invariato dalle permutazioni del gruppo di galois di $p(x)$ ,vero?
Che forma dovrà avere?

[hydro]

Se $E$ è un campo di spezzamento del polinomio $p(x)$ a coefficienti in $Q$ di grado $n$, le cui radici indichiamo con ${x_1,x_2,...,x_n}$, sia $alpha$ un elemento primitivo tale che $Q(alpha)=E$ il suo polinomio minimo avrà grado uguale ad $[E:Q]$?

Sì

Inoltre un tale elemento sarà lasciato invariato dalle permutazioni del gruppo di galois di $p(x)$ ,vero?

No

Che forma dovrà avere?

$f(x_1,\ldots,x_n)$ per qualche $f\in \mathbb Q[t_1,\ldots,t_n]$.