Domanda sottoinsiemi propri e impropri

[mitcho]

Ciao,

avrei una domanda piuttosto stupida su sottoinsiemi ma che vorrei cercare di rendere come definizione migliore di quello che ho capito.

Definiamo A sottoinsieme di B quando per ogni x, $x in A$ allora $x in B$
Questo può dar luogo a due tipologie di sottoinsiemi propri e improrpi:

Ho trovato differenti definizioni che però non riesco a conciliare:

1) ogni insieme B ha due sottoinsiemi imporpri ${}$ e $B$

2) A è sottoinsieme proprio di B se A è sottoinsieme di B (def. sopra) e $A!=B$
Cioè in altro modo: A è contenuto in B, ma B non è contenuto in A
(problema 1) Questa definizione mi pare funzionare per $B$ visto come sottoinsieme che non rispettando $B!=B$ ci dice non essere proprio quindi è improprio.
Tuttavia il sottoinsieme vuoto rispetta: ${}$ sottinsieme di $B$ e ${}!=B$ quindi rispetta la condizione di sottoinsieme proprio ma in realtà è improprio (come aggiusto quindi questa faccenda?)

3) un insieme $A$ è sottoinsime proprio di $B$ se $A$ è sottoinsieme di $B$ ed è tale per cui esiste $x in B : x!in A$
Di nuovo se prendo il "sottoinsieme" $B$ è evidente che non esiste $x in B$ che non sia in $B$, quindi non rispettando la definizione di insieme proprio allora B è improprio.
Ma di nuovo non mi pare funzionare per l'insieme vuoto $A={}$ infatti dato un $B$: trovo $x in B$ che non appartengono ad ${}$.

Come si aggiusta quindi questa cosa?

[ghira]

Ho sempre visto "banali" per l'insieme vuoto e l'insieme stesso, e "improprio" solo per l'insieme stesso.

Dove hai visto "improprio" per l'insieme vuoto?

[mitcho]

Bella domanda, ormai non ricordo nemmeno più perché ho scaricato da tantissime fonti per venirne a capo e non so più quale pdf fosse (cioè di quale corso universitario italiano tra quelli letti). Quindi per scrivere qui sono andato a memoria, era un dubbio che mi portavo dietro da qualche mese.

A questo punto deduco che il problema sia solo di nomenclatura, cioè basta capirsi.
Se voglio includere come improprio lo {}, basta che considero

2) A (non vuoto) è sottoinsieme proprio di B se A è sottoinsieme di B (def. sopra) e A≠B
3) un insieme A (non vuoto) è sottoinsime proprio di B se A è sottoinsieme di B ed è tale per cui esiste x∈B:x∉A

Di contro se non voglio includere lo {}negli impropri (ma solo nei banali), levo la richiesta sul "non vuoto":

2) A è sottoinsieme proprio di B se A è sottoinsieme di B (def. sopra) e A≠B
3) un insieme A è sottoinsime proprio di B se A è sottoinsieme di B ed è tale per cui esiste x∈B:x∉A

[ghira]

Se voglio includere come improprio lo {0}, basta che considero

${0}$ sembra un insieme che contiene 0. Intendi ${}$ o $\emptyset$, magari.

[mitcho]

Che erorraccio, si intendevo il vuoto nelle mie precedenti. Correggo!

Perché di solito uso $∅$ ma non sapendo scriverlo qui ho usato {}, e non usandola mai come notazione mi è venuto naturale scrivere {0} nel buttare giù il testo, ma è un lapsus brutto. Grazie!

Però insomma quanto dicevo sopra sembra tornare messa così no?

[ghira]

Magari c'è chi chiama $\emptyset$ un sottoinsieme improprio. Un po' come 0 numero naturale o no?

[mitcho]

Sìsì esatto solo che non riuscivo a raccordare le fonti, poi con la tua prima risposta mi hai acceso una lampadina.

Per quello scrivevo questo

Bella domanda, ormai non ricordo nemmeno più perché ho scaricato da tantissime fonti per venirne a capo e non so più quale pdf fosse (cioè di quale corso universitario italiano tra quelli letti). Quindi per scrivere qui sono andato a memoria, era un dubbio che mi portavo dietro da qualche mese.

A questo punto deduco che il problema sia solo di nomenclatura, cioè basta capirsi.
Se voglio includere come improprio lo {}, basta che considero

2) A (non vuoto) è sottoinsieme proprio di B se A è sottoinsieme di B (def. sopra) e A≠B
3) un insieme A (non vuoto) è sottoinsime proprio di B se A è sottoinsieme di B ed è tale per cui esiste x∈B:x∉A

Di contro se non voglio includere lo {}negli impropri (ma solo nei banali), levo la richiesta sul "non vuoto":

2) A è sottoinsieme proprio di B se A è sottoinsieme di B (def. sopra) e A≠B
3) un insieme A è sottoinsime proprio di B se A è sottoinsieme di B ed è tale per cui esiste x∈B:x∉A

Perché mi pare la soluzione ai dubbio, no? Cioè mi sembra filare liscio così detto.

[mitcho]

Il fatto che non hai risposto la prendo come una validazione del mio discorso giusto?
Cioè non ho detto fesserie.

[ghira]

Sembra ok, sì.

[mitcho]

Molto gentilo, grazie.