Come si dimostra in modo matematico ax=y

[gualtieroilvero]

Buonasera, purtroppo non sono un matematico ma ho una curiosità che mi tormenta.

Volevo capire come dimostrare in modo matematicamente corretto una cosa che mi pare ovvia ma non so come rendere rigorosa.

assumendo x e y variabili qualunque e a parametro qualunque, mi accorgo che se prendo ax=y per ogni x ho una y che rende vero ax=y. Ma è anche vero il viceversa ossia che per ogni y ho un x che rende vero ax=y.

Ho provato a pensare due insiemi {x|ax=y}=A e {b|ax=y}=B e provare a mostrare una doppia inclusione ma è ovvio non si possa fare dato che A e B hanno elementi diversi, volevo quindi provare a riformulare altri due insiemi A' e B' dipendenti da x e y che potesse mostrare se x appartiene ad A' => x appartiene a B' e poi che se x appartiene a B' allora x appartiene a A' ma ho fallito miseramente.

Chiedo un aiuto a voi

[@melia]

Non capisco che cosa vuoi dimostrare.
$ax=y$ è un'equazione reale di primo grado in due incognite con infinite coppie di numeri soluzione.
Se preferisci può essere vista come una funzione di un insieme A (detto Dominio) al quale appartiene la variabile $x$ in un insieme B (detto Codominio) che deve contenere tutti i valori delle $y $ ottenibili dalle $x$ di A.
Per definire la funzione devi prima avere Dominio e Codominio e poi la legge che manda le x del dominio nelle y del codominio:
$\A ->B$
$\x ->y=ax$

[gualtieroilvero]

Ringrazio per la risposta e mi scuso contestualmente per la poca precisione che ho usato.

Quello che volevo dire è questo: assumendo una equaizone ax=y generalmente mi accorgo che:

1 - se fisso un qualunque y che pesco da un insieme Y, mettiamo i reali, dato "a" parametro risolvendo l'eq. trovo tutte le x che risolvono l'equazione.
Però svolgendo questo primo punto non è mica detto che scegliendo tutte le y possibili nei reali le x che trovo sono di nuovo tutti i reali. Io mostro solo che scegliendo una qualunque x ho una y nei reali ma potrei non coprire con queste x trovate tutti i reali!
2 - la mia idea era quindi dimostrare l'inverso: assumiamo tutte le x nei reali e mostriamo che esiste sempre una y nei reali e che quella equazione sia resa vera con questi valori.

E' simile a quando dico se ho due insiemi A e B e voglio mostrarli uguali mostro che tutti gli elementi di A stanno in B e poi viceversa che tutti gli elementi di B sono contenuti in A e concludo dicendo A=B. Per quello avevo cercato di portarmi ad avere due insiemi e mostrare che fossero lo stesso insieme nel mio primo messaggio (ma forse sono risultato solo più sconclusionato). Insomma l'idea di base è quella di voler mostrare i due punti sopra elencati, vorrei dimostrare quello che intuidivamente mi sembra giusto. Sarebbe sbagliato voler dimostrare i punti 1 e 2? E se non fosse sbagliato come si fa? grazie.

Correggo editando piccolo errore

[@melia]

Adesso è molto più chiaro. Appena ho un attimo ti rispondo perché la risposta non è semplicemente sì o no.

[gualtieroilvero]

Ho fatto un piccolo edit ma è in approvazione, avevo fatto un refuso e mi scuso.
Attendo con piacere la risposta.

Una buona serata

[@melia]

Prima di tutto quindi vanno indicati Dominio e Codominio, generalmente l'elemento del Dominio si indica con $x$, quello che tu vuoi dimostrare oltre al fatto che la relazione sia una funzione, cioè che $AA x in A EE y in B |y=f(x)$
vuoi dimostrare che la funzione è invertibile, cioè che anche quella che va da $B$ ad $A$ è una funzione, cioè
$AA y in B EE x in A | x=f^(-1)(y)$
Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti di $A$ hanno immagine distinta in $B$, cioè non esitono due elementi di $A$ che hanno la stessa immagine in $B$. In "matematichese" $f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2$
Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di $B$ proviene da lameno un elemento di $A$. In "matematichese" $AA y in B EE x in A | f(x)=y$
Una funzione è invertibile se è biunivoca, cioè è iniettiva e suriettiva.
Adesso che sappiamo cosa bisogna dimostrare, l'algebra elementare ci permette una semplicissima dimostrazione, prendo come $A$ e $B$ l'insieme $RR$ dei numeri reali, anche il parametro $a in RR$.

Per l'iniettività: prendiamo due elementi $x_1, x_2 in A$ e supponiamo che $f(x_1)=f(x_2)$, con la nostra funzione otteniamo $ax_1=ax_2$, se $a!=0$ possiamo dividere per $a$ entrambi i membri, ottenendo $x_1=x_2$ come richiesto.

Per la suriettività: prendiamo un $y in B$, con la funzione di partenza $y=ax$, per vedere se esiste la $x$ che rende vera questa uguaglianza dobbiamo dividere per $a$ che deve essere diverso da $0$, $y/a=x$ siccome nei reali la divisione per un termine non nullo si può fare sempre possiamo trovare la nostra $x$ come richiesto.

A questo punto sappiamo che la funzione $y=ax$ da $RR$ in $RR$ è biunivoca, quindi invertibile sempre se $a!=0$

Ho usato un po' di linguaggio tecnico, ma spero di essere stata chiara.

[gualtieroilvero]

Ciao e grazie mille per la tua risposta. Mi sembra molto chiara e comprensibile e ti ringrazio. Volevo solo porti due ultime considerazioni per capire.

1) praticamente posso vedere l'equazione sopra detta come una funzione biiettiva (non ci avrei mai pensato) ma mi pare proprio che in definitiva sia questo? E' corretto no?

2) la seconda cosa è dovuta al fatto che in questi giorni ho provato a famri un po' una idea leggendo qua e la e mi pareva di poterla vedere così, però mi sembra fin troppo banale.
Essendo $R$ quello che ho scoperto chiamarsi gruppo vuol dire che ci sono elementi inversi per ogni elemento.
Quindi se io prendo

$ax=y$ posso dire:
- qualunque sia x che ho scelto ho una rispettiva y, questo mi pare ovvio (se assumo l'operazione ben definita, che poi sarebbe un po' il discorso) l'eq. ci dice che ogni x ha una y $ax=y$.
- prendo una y qulunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!

Di questo secondo punto volevo porre due domande:
a) quanto ho detto può funzionare?
b) in ogni caso il ragionamento da cui tutto è partito era corretto? cioè devo semppe dimostrare: sia che se la vedo come funzione che intesa come gruppi che: dato x trovo un y ma ciò non basta a concludere che dati tutti gli x nei reali copro ogni y possibile, devo infatti dimostrare sempre(?) anche il contrario che per ogni y scelta ho una x. A questo punto concludo che dato qualunque x copro tutte le y e viceversa (perdona il linguaggio poco tecnico ma volevo comprendere l'idea ). Perché inizialmente pensavo che bastasse dire per ogni x ho ax=y e ho una y quindi ho tutti i reali coperti da y, ma poi mi sono accorto che devo in realtà sempre mostrare anche linverso. E' un po' questo che mi chiedevo.

Molto gentile.

[@melia]

Quello che dici, anche se non tutto con il linguaggio tecnico, va bene. L'unica cosa: se vuoi poter calcolare $a^(-1)$ devi imporre $a!=0$, è la cosa più importante del discorso.

[gualtieroilvero]

Ciao grazie per la risposta. Non ho solo capito una cosa: intendi che è giusto il discorso sui gruppi o l'idea intuitiva che dicevo della dimostrazione "mostrare un verso e poi l'altro"?
In effetti avevo posto due domande e non ho capito a quale rispondi, perdonami

Quanto a $a^-1$ è verissimo, in quanto Ho compreso essere gruppo solo con ${RR-{0},*}$!
grazie di nuovo!

[@melia]

a) può funzionare
b) a parte qualche pecca sul linguaggio, funziona anche questo.