Domanda su polinomio

[francicko]

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Q$ ed ivi irriducibile , siano ${x_1,x_2,....x_n}$ le radici, avremo $(Q[x])//(p(x))~~Q(x_i)$ indicata con $x_i$ una generica radice, giusto?
Pertanto avremo $Q(x_1)~~Q(x_2)....~~Q(x_i)...~~Q(x_n)$

[Martino]

Giusto.

[francicko]

Continuando il procedimento e considerando il campo ottenuto $Q(x_1)=Q_1$ avremo $p(x)=(x-x_1)q_1(x)$ dove $q_1(x)=(x-x_2)(x-x_3)×...(x-x_n)$, adesso il polinomio $q_1(x)$ può essere irriducibile o meno sul nuovo campo $Q(x_1)=Q_1$ e risulterà $[Q_1:Q]=n$, se è irriducibile, posso iterare il procedimento ottenendo così il nuovo campo $Q_1(x_2)=Q_2$ e risulterà $[Q_2:Q_1]=n-1$ , continuando se i polinomi $q_1(x)$, $q_2(x)$, $...$, $q_n=(x-x_n)$, risulteranno sempre irriducibili nei rispettivi ampliamenti $Q_1,Q_2,...Q(n-1)$ otterremo il campo di riducibilità completa $E=Q(x_1,x_2,..,x_n)$ e risulterà $[E:Q]=n(n-1)(n-2)..×1=n!$, dato che qualche $q_i$ potrebbe risultare riducibile rispettivamente in $Q_i$, sicuramente risulterà $[E:Q]<=n!$, vero?

[Martino]

In termini generici l'idea è quella, ma per ottenere una dimostrazione formale devi procedere per induzione su $n$. Cioè devi usare il cosiddetto principio di induzione. Sospetto che non sai cosa sia, purtroppo è necessario conoscerlo per poter fare matematica di questo livello. Non hai altra scelta: ti devi andare a studiare il principio di induzione.

[francicko]

Qualcosa del principio di induzione conosco, avendolo usato per alcune dimostrazioni sui gruppi, bisogna verificare che una proposizione $P(n)$ sia vera per $P(1)$ base dell'induzione e che $P(n-1)$ vera implichi $P(n)$ vera allora $P(n)$ sarà vera per ogni $n$, onestamente in questo caso ho un po' di difficoltà ad applicare il principio, suppongo che bisogna procedere per induzione sul grado dell'estensione, giusto?
Sia $p(x)$ di grado $n$ irriducibile su $Q$, $x_1$ una radice , allora sappiamo che $Q(x_1)$ è un campo .
Se $n=1$ avremo $E=Q_1$ ed $[E:Q]=1$, banalmente vera.
Sia $n>1$ ed $x_1$ una radice di $q(x)$ allora dividendo avremo $p(x)=(x-x_1)q(x)$, il grado del polinomio $q(x)$ sarà $n-1$, se è irriducibile indicato con $T$ il suo campo di spezzamento in $Q_1$ avremo $[T:Q_1]=(n-1)((n-2)×....×1=(n-1)!$ ma allora per la formula dei gradi avremo ancora $[E:Q]=[Q_1:Q][T:Q_1]= n(n-1)(n-2)×...×1=n!$ come volevasi dimostrare.

[Martino]

Sì, devi dimostrare che

Se $K$ è un campo e $f(x)$ è un polinomio in $K[x]$ (non necessariamente irriducibile) di grado $n$ allora ogni suo campo di spezzamento $E$ ha grado $|E:K| <= n!$.

Induzione su $n$.

Il caso base $n=1$ è ovvio perché in questo caso $f(x)=ax+b$ con $a,b in K$ e $a ne 0$ e quindi $E=K$.

Ora supponendo che il risultato valga per $n-1$ lo mostriamo per $n$. Per farlo devi prendere $f(x) in K[x]$ di grado $n$, $E$ un suo campo di spezzamento, $r in E$ tale che $f(r)=0$ e scrivere quindi $f(x)=(x-r) * g(x)$ per un opportuno $g(x) in K(r)[x]$. Ora osservi che $E$ è campo di spezzamento di $g(x)$ su $K(r)$ e applichi l'ipotesi di induzione su $g(x)$ che ha grado $n-1$, ottenendo $|E:K(r)| <= (n-1)!$. D'altra parte è chiaro che $|K(r):K| <= n$ perché il polinomio minimo di $r$ su $K$ divide $f(x)$. Quindi

$|E:K| = |E:K(r)| * |K(r):K| <= (n-1)! * n = n!$

[francicko]

Ok! In sostanza quello che ho scritto può andar bene, giusto?

[Martino]

Sia $p(x)$ di grado $n$ irriducibile su $Q$, $x_1$ una radice , allora sappiamo che $Q(x_1)$ è un campo .
Se $n=1$ avremo $E=Q_1$ ed $[E:Q]=1$, banalmente vera.
Sia $n>1$ ed $x_1$ una radice di $q(x)$ allora dividendo avremo $p(x)=(x-x_1)q(x)$, il grado del polinomio $q(x)$ sarà $n-1$, se è irriducibile indicato con $T$ il suo campo di spezzamento in $Q_1$ avremo $[T:Q_1]=(n-1)((n-2)×....×1=(n-1)!$ ma allora per la formula dei gradi avremo ancora $[E:Q]=[Q_1:Q][T:Q_1]= n(n-1)(n-2)×...×1=n!$ come volevasi dimostrare.

Sì l'idea è questa, c'è solo il problema che per dimostrare qualcosa per induzione lo devi prima enunciare. Stai dimostrando una cosa che non hai enunciato.

Poi non ho capito perché hai modificato il tuo intervento precedente anziché rispondere, qual è il senso? La mia risposta precedente era relativa a quello che avevi scritto prima, e che poi hai modificato facendo perdere senso alla mia risposta.

[francicko]

Chiedo scusa!! Le continue modifiche sono state dovute ad un problema tecnico, non riuscivo ad inviare il messaggio al completo perché inviando mi dava errore , così ho pensato di inviarlo a pezzi!
Grazie molte per le risposte sempre precise ed esaurienti!