da francicko » 10/07/2023, 06:41
Continuando il procedimento e considerando il campo ottenuto $Q(x_1)=Q_1$ avremo $p(x)=(x-x_1)q_1(x)$ dove $q_1(x)=(x-x_2)(x-x_3)×...(x-x_n)$, adesso il polinomio $q_1(x)$ può essere irriducibile o meno sul nuovo campo $Q(x_1)=Q_1$ e risulterà $[Q_1:Q]=n$, se è irriducibile, posso iterare il procedimento ottenendo così il nuovo campo $Q_1(x_2)=Q_2$ e risulterà $[Q_2:Q_1]=n-1$ , continuando se i polinomi $q_1(x)$, $q_2(x)$, $...$, $q_n=(x-x_n)$, risulteranno sempre irriducibili nei rispettivi ampliamenti $Q_1,Q_2,...Q(n-1)$ otterremo il campo di riducibilità completa $E=Q(x_1,x_2,..,x_n)$ e risulterà $[E:Q]=n(n-1)(n-2)..×1=n!$, dato che qualche $q_i$ potrebbe risultare riducibile rispettivamente in $Q_i$, sicuramente risulterà $[E:Q]<=n!$, vero?
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"