Sottogruppo di un gruppo infinito

[Kiretta94]

Il mio libro di Algebra 1 mi propone il seguente esercizio subito dopo aver dimostrato che i laterali di un gruppo sono equipotenti al gruppo stesso:
Sia G un gruppo infinito, e sia H un sottogruppo di G tale che l'insieme G\H (differenza insiemistica) sia finito. Provare che H=G.
Potreste darmi una mano? Riesco a dimostrare solo che H è infinito...

[j18eos]

CIa0, benvenut*;

cos'è \(ah\)? Con \(G\setminus H\) indichi la differenza insiemistica?

[Kiretta94]

Si differenza insiemistica. ah era un errore di battitura, grazie mille ho corretto

[j18eos]

Non se possa essere d'aiuto, ma \(G\setminus H\) dev'essere un insieme finito di ordine pari oppure vuoto!

[Kiretta94]

Non saprei, però per curiosità come mai G\H deve avere ordine pari oppure essere vuoto?
Per quanto riguarda l'esercizio, mi viene in mente che G = <G\H> U H
E dato che un gruppo non si può scrivere come unione di due sottogruppi propri G dovrà essere uguale ad uno dei due, ma non riesco a trovare un assurdo nel supporre G = <G\H>.

[hydro]

$G$ si decompone come unione disgiunta dei laterali di $H$ in $G$, e ciascuno di essi ha cardinalità $H$. Se $G\setminus H$ è finito, e $G$ è infinito, è chiaro che non può essere $H\ne G$, perchè altrimenti ci sarebbero almeno due laterali disgiunti $H$ e $gH$, e gli elementi di $gH$ sono infiniti e non stanno in $H$.

[Kiretta94]

Grazie mille hydro, ora mi é chiaro!